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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1995}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 2 points}

\medskip

Calculer et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction aussi simple que possible :

\[A = \dfrac34 - \dfrac56  \times \dfrac32 ;\quad  B = \dfrac{\dfrac12}{\dfrac13 + \dfrac14}\]

Calculer et donner chaque résultat sous la forme $a \sqrt b$ ($a$ et $b$ entiers, $b$ le plus petit possible) :

\[C= \sqrt 8 \times \sqrt{50} \times \sqrt{18}\quad ;\quad  D = \sqrt 8 + \sqrt{50}- \sqrt{18}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

On donne l'expression suivante : $E = (3x - 1)^2 - (3x - 1)(x + 4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(3x - 1)(2x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip

Jean et Paul désirent acheter en commun un lecteur de disques qui coûte \np{2000} F{}.

Les économies de Paul représentent les $\dfrac45$ de celles de Jean, et s'ils
réunissent leurs économies, il leur manque $272$ F pour pouvoir effectuer leur achat.

Calculer le montant des économies de chacun des deux garçons.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 7,5 points}

\medskip

On fera la figure sur une feuille de papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal (O, I, J) où l'unité est le centimètre placer les points A(2~;~4) et B$(8~;~- 2)$.
\item Vérifier que les points A et B appartiennent à la droite $(D)$ d'équation
$y = - x + 6$.

Tracer la droite $(D)$.
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment[AB] puis placer le point M dans le repère.
\item Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à la droite $(D)$ et passant par le point M. Tracer la droite $(\Delta)$.

Que représente la droite $(\Delta)$ pour le segment [AB] ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2  \hfill 4,5 points}

\medskip

Tracer un triangle équilatéral ABC de $4$~cm de côté et faire les trois constructions demandées à partir de ce triangle, sans les justifier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire l'image du triangle ABC dans la symétrie de centre C et hachurer au crayon de papier l'intérieur de cette image.
\item Construire l'image du triangle ABC dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite (BC) ; la hachurer en rouge.
\item Construire l'image du triangle ABC dans la rotation de centre C, d'angle $120\degres$ et de sens, le sens inverse des aiguilles d'une montre ; la hachurer en bleu ou noir.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Construire un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de 3 cm de rayon. Placer un point A tel que OA $= 9$. Le segment [OA] coupe le cercle $\mathcal{C}$ en E.

Tracer le cercle $\mathcal{C}'$ de diamètre [OA]. Le cercle $\mathcal{C}'$ coupe le cercle $\mathcal{C}$  en B et C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (AB) est tangente au cercle $\mathcal{C}$ en B.)
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$ à un degré près.
\item Démontrer que AB $= 6 2$.
\item Soit M l'image de A par la translation de vecteur $\vect{\text{BO}}$.

Placer le point M sur la figure.

Démontrer que le quadrilatère OBAM est un rectangle.
\item Par E, tracer la droite $(\Delta)$ parallèle à la droite (BO). Elle coupe la droite (AB) en F. 

Calculer EF et FA. (On demande les valeurs exactes.)
\item Démontrer que OBFE est un trapèze rectangle et que BF $= 2 2$. 

Calculer l'aire, en cm$^2$, du quadrilatère OBFE.

On demande la valeur exacte puis l'arrondi à $10^{-}2$ près.
\end{enumerate}
\end{document}