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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Clermont--Ferrand}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Clermont--Ferrand juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres : 

\[A = \dfrac{11}{7} - \dfrac97 \times \dfrac53 ;\qquad 
B = \sqrt{20} - \sqrt{125} + 2 \sqrt{245}.\]

On détaillera les étapes des calculs et on écrira :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $A$ sous la forme d'une fraction la plus simple possible.
\item $B$ sous la forme $a \sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des entiers avec $b$ entier positif le plus petit possible.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans deux classes de troisième de 24 élèves chacune, on demande aux collégiens combien de temps ils passent dans l'autobus pour se rendre au collège (tous prennent l'autobus).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que tous les élèves ont répondu, reproduire et compléter le tableau ci-dessous présentant les résultats de cette enquête :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t$ en min&$0 \leqslant 15$&$15 \leqslant 30$&$30 \leqslant 45$&$t \geqslant 45$\\ \hline
Effectif&6&24&&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Quel est l'effectif d'élèves passant au moins $30$ minutes dans l'autobus pour se rendre au collège ?
\item En déduire le pourcentage d'élèves passant au moins une demi-heure dans l'autobus pour se rendre au collège.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression : $E = (2x + 5)^2 - (2x + 5)(x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(2x + 5)(x + 8) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un triangle OAB rectangle en O.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.6,2.8)
\pspolygon(.2,0.2)(3.5,0.2)(3.5,2.4)%AOB
\psframe(3.5,0.2)(3.3,0.4)
\uput[l](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.5,0.2){O} \uput[u](3.5,2.4){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

Construire sur la figure ci-dessus :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le point C de [OA] tel que OC = OB.
\item Au crayon, la figure symétrique du triangle ABC par rapport à l'axe (OB).
\item En rouge, la figure symétrique du triangle ABC par rapport au point O.
\item À l'encre, l'image du triangle ABC par la rotation de centre O qui amène B en C.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

On donne un triangle ABC. Le point R appartient au segment [AB], le point S au segment [AC] et on a :

AB = 20 ;\quad  BC = 21 ;\quad  RB = 12 ;\quad  AS = 11,6 ;\quad  AC = 29.

Ne pas refaire la figure.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(4.2,2.6)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.3)(3.8,0.3)(2.1,2)%ACB
\psline(1.2,1.2)(2.2,0.3)%RS
\uput[l](0.3,0.3){A} \uput[dr](3.8,0.3){C} \uput[u](2.1,2){B} 
\uput[ul](1.2,1.2){R}\uput[d](2.2,0.3){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (RS) et (BC) sont parallèles.
\item Les droites (RS) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans ce problème, on veut calculer les aires d'un carré
, d'un hexagone régulier et d'un décagone (polygone de dix côtés) régulier de même périmètre (120~m).

\textbf{Les trois parties du problème sont indépendantes}

\smallskip

Toutes les longueurs qui interviennent sont exprimées en mètres et les aires en mètres carrés.

On ne refera pas les figures.

\medskip

\textbf{Partie A : étude du carré}

\medskip

Calculer le côté puis l'aire d'un carré de $120$~m de périmètre.

\medskip

\textbf{Partie B : étude de l'hexagone régulier}

\medskip

\begin{minipage}{0.63\linewidth}
La figure ci-contre représente un hexagone régulier ABCDEF de 120 m de périmètre. Il est inscrit dans un cercle de centre O ; il est constitué de six triangles équilatéraux. Le segment [CH] est une hauteur du triangle équilatéral OAB.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(1.8,1.8)
\pscircle(0,0){1.7}
\pspolygon(1.7;0)(1.7;60)(1.7;120)(1.7;180)(1.7;240)(1.7;300)
\psline(1.7;0)(1.7;180)
\psline[linestyle=dashed]](1.7;60)(1.7;240)
\psline[linestyle=dashed]](1.7;120)(1.7;300)
\uput[r](1.7;0){A} \uput[ur](1.7;60){B} \uput[ul](1.7;120){C} \uput[l](1.7;180){D} 
\uput[dl](1.7;240){E} \uput[dr](1.7;300){F} \uput[l](1.5;30){H}
\psline[linestyle=dashed](1.5;30)
\rput{-150}(1.5;30){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AB du côté de l'hexagone régulier.
\item En déduire AH puis la valeur exacte de OH. (On justifiera chaque réponse.)
\item Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle OAB.
\item Calculer la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10 m2 près de l'aire de l'hexagone régulier de 120 m de périmètre.
\end{enumerate}
\textbf{Partie C : étude du décagone régulier}

\medskip

%fig
\begin{minipage}{0.63\linewidth}
La figure ci-contre représente un décagone régulier 

MNPQRSTUVW de 120 m de périmètre. 

Ce décagone est inscrit dans un cercle de centre I. 

Le segment [IK] est une hauteur du triangle isocèle IMN.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(1.8,1.8)
\pscircle(0,0){1.7}
\pspolygon(1.7;0)(1.7;36)(1.7;72)(1.7;108)(1.7;144)(1.7;180)(1.7;216)(1.7;252)(1.7;288)(1.7;324)
\psline[linestyle=dashed](1.7;0)(1.7;180)
\psline[linestyle=dashed](1.7;36)(1.7;216)
\psline[linestyle=dashed](1.7;72)(1.7;252)
\psline[linestyle=dashed](1.7;108)(1.7;288)
\psline[linestyle=dashed](1.7;144)(1.7;324)
\uput[r](1.7;0){M} \uput[ur](1.7;36){N} \uput[ur](1.7;72){P} \uput[ul](1.7;108){Q} 
\uput[ul](1.7;144){R} \uput[l](1.7;180){S} \uput[dl](1.7;216){T}\uput[dl](1.7;252){U}
\uput[dr](1.7;288){V}\uput[dr](1.7;324){W}\uput[ur](1.63;18){K}
\uput[u](0,0){I}
\psline[linestyle=dashed](1.6;18)
\rput{-165}(1.63;18){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur MN du côté du décagone régulier.


\item  Calculer l'angle $\widehat{\text{MIN}}$, puis l'angle $\widehat{\text{IMN}}$.
\item Montrer que la valeur arrondie au centimètre près de IK est 18,47~mètres.
\item En utilisant la valeur approchée de IK donnée en 3., calculer :
\begin{itemize}
\item l'aire du triangle MIN ;
\item l'aire du décagone régulier ; donner la valeur arrondie à 10 m$^2$ près de ce dernier résultat.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}