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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Créteil}
\lfoot{\small juin 1981}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction
affine $f$ qui à tout réel $x$ associe le réel $f(x) =ax + b$, satisfasse aux deux conditions :

\[f(2) = 4 \qquad et \qquad f\left(-\dfrac56\right) = - 0,25.\]

\item Construire, dans le plan muni d'un repère orthonormé, la droite $(D)$ d'équation 

$y= \dfrac32 x + 1$.

Donner un vecteur directeur $\vect{u}$ de $(D)$.
\item Déterminer le réel $c$ de façon que le vecteur $\vect{v}$ de
coordonnées $(1~;~c)$ soit orthogonal au vecteur $\vect{u}$.

Former une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$
perpendiculaire à $(D)$ et passant par le point A de coordonnées $\left(3~;~2\left(\sqrt 2 - 1\right)\right)$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites $(D)$ et $(\Delta)$. 

On désigne par $x_0$ l'abscisse de I ; donner un encadrement $\alpha \leqslant x_0 \leqslant  \beta$ tel que

\[\beta - \alpha \leqslant \dfrac{1}{100}.\]

(On sait que $\sqrt 2 = 1,414...$) 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit un triangle (A, B, C) et soit M le milieu du segment [B, C].

On désigne par D le point du segment [A, B] tel que $d$(A, B) $= 3d$(A, D) et par E le point du segment [A, C] tel que $d$(A, C) $= 3d$(A, E). 

Par D on mène la parallèle à la droite (AC) qui est sécante à la droite (BC) en F et par E on mène la parallèle à la droite (AB) qui est sécante à la droite (BC) en G.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\dfrac{\overline{\text{BD}}}{\overline{\text{BA}}}$.
		
Calculer $\dfrac{\overline{\text{BG}}}{\overline{\text{ BC}}}$ et sachant que
$\overline{\text{BC}} = 2\overline{\text{BM}}$, calculer $\dfrac{\overline{\text{BG}}}{\overline{\text{BM}}}$.

Que aire des droites (DG) et (AM) ?
		\item De la même manière, calculer $\dfrac{\overline{\text{CE}}}{\overline{\text{CA}}}$ d'une part, puis $\dfrac{\overline{\text{CF}}}{\overline{\text{CB}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{CF}}}{\overline{\text{CM}}}$ d'autre part.

Que dire des droites (EF) et (AM) ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Nature du quadrilatère (D, E, F{}, G) ?
		\item Quelle condition doivent vérifier les droites (DF) et (EG) pour que le quadrilatère (D, E, F{}, G) soit un losange ?
		
Quelle particularité doit alors présenter le triangle (A, B, C) pour qu'il en soit ainsi ?
	\end{enumerate}
\item On désigne par I le point d'intersection des droites (DF) et (EG).
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les égalités suivantes: 
		
		\[\vect{\text{AI}} = \dfrac13 \left(\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}\right),\quad  \vect{\text{AM}} = \dfrac12 \left(\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}\right).\]
		
		\item Justifier l'alignement des points A, I et M.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}