\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small juin 1997} \lfoot{\small Créteil--Paris--Versailles} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Créteil--Paris--Versailles juin 1997 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \emph{Les exercices qui suivent sont indépendants. On écrira les étapes des calculs} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Calculer, puis simplifier (on donnera les résultats sous la forme de fractions les plus simples possibles) : \[A = \dfrac32 - \dfrac15 \times \dfrac{25}{7} ; \quad B = \left(\dfrac28 - \dfrac{3}{15}\right) : \dfrac{3}{10} ; \quad C = \dfrac{25 \times 10^2 \times 121}{11 \times 150 \times 3}\] \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Calculer $D$ et $E$ ; on donnera les résultats sous la forme $m\sqrt p$ , où $m$ et $p$ sont des nombres entiers : \[D = 2 \sqrt{32} - \sqrt{50} ;\qquad E = \sqrt{15} \times \sqrt{10}\] \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Soit $F = (4 x - 3)^2 - (x - 4)(4x - 3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer, réduire et ordonner $F$. \item Factoriser $F$. \item Résoudre l'équation : $(4 x - 3)(3 x + 1) = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip Deux carnets de tickets de transport \og plein tarif \fg{} et trois carnets de tickets \og tarif réduit \fg{} coûtent $167$~F. Un carnet de tickets de transport \og plein tarif\fg{} et deux carnets de tickets \og tarif réduit \fg{} coûtent $96$~F. Calculer le prix d'un carnet \og plein tarif \fg{} et le prix d'un carnet \og tarif réduit\fg. Pour cela, vous appellerez $x$ le prix d'un carnet \og plein tarif \fg{} et $y$ celui d'un carnet \og tarif réduit\fg, puis vous mettrez ce problème en équation. Enfin, vous vérifierez votre réponse par un calcul que vous écrirez sur la copie. \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip La figure F$_1$ est tracée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=5mm} \begin{pspicture}(19,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt] \pspolygon(1,1)(3,3)(4,3)(5,2)(4,1) \rput(3.5,2){F$_1$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,1)(6,2)(11,3) \uput[l](1,1){A} \uput[dr](6,2){B} \uput[ul](11,3){C} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer l'image F$_2$ de F$_1$ par la symétrie de centre B ; préciser l'image de A par cette symétrie. \item Tracer l'image F$_3$ de F$_2$ par la symétrie de centre C. \item Par quelle transformation passe-t-on de F$_1$ à F$_3$ ? En utilisant des points du dessin, préciser cette transformation. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Le plan est muni du repère orthonormal (O, I, J). Parmi les huit équations de droites suivantes, figurent celles de chacune des cinq droites tracées sur la figure : \begin{center} \psset{unit=5mm} \begin{pspicture}(-4,-6)(15,8) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-4,-6)(15,8) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-3}{2.3}{2 x mul 3 add}\uput[ul](2,7){$D_1$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-1}{6}{2 x mul 4 sub}\uput[ul](5.5,7){$D_5$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-4}{12}{3 x 4 div sub}\uput[ul](-3,4){$D_4$} \uput[u](12,6){$D_2$} \uput[dr](6,-5){$D_5$} \psline[linewidth=1.25pt](-4,6)(15,6) \psline[linewidth=1.25pt](6,-6)(6,8) \uput[dr](0,0){O}\uput[dr](1,0){I}\uput[ul](0,1){J} \end{pspicture} \bigskip \begin{tabular}{|c|c|}\hline Droite&Équation de la droite\\ \hline $D_1$& \\ \hline $D_2$& \\ \hline $D_3$& \\ \hline $D_4$& \\ \hline $D_5$& \\ \hline \end{tabular} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{center} \psset{unit=5mm} \begin{pspicture}(-2.8,-0.7)(2.8,6.8) \psellipticarc(0,0)(2.6,0.7){180}{360} \psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.6,0.7){0}{180} \psline[linestyle=dashed](-2.6,0)(2.6,0) \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,6.3) \psline(-2.6,0)(0,6.3)(2.6,0) \uput[l](-2.8,0){A} \uput[d](0,0.18){O} \uput[r](2.6,0){B} \uput[u](0,6.3){S} \psframe(0.4,0.4) \end{pspicture} \end{center} L'unité de longueur est le centimètre. Une bougie a la forme d'un cône de révolution de sommet S ; sa base est un cercle de centre O et de diamètre AB $= 10$, on donne SA $= 13$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la hauteur de la bougie a pour longueur $12$ cm. \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte du volume de la bougie en cm3. (On écrira cette valeur sous la forme $k \times \pi$, où $k$ est un nombre entier.) \item Combien peut-on fabriquer de bougies de ce type avec $4$ litres de cire ? (Rappel : 1 litre = \np{1000} cm$^3$.) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip Pour ce problème, l'unité de longueur est le centimètre. Les trois questions sont indépendantes. \begin{center} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(0,-0.4)(4.8,3.5) %\psgrid \psframe(0.7,-0.3)(4.2,3.2)%GFEA \psline(2.4,3.2)(2.4,1.6)(0.7,1.6)(4.2,3.2)%BCDE \uput[l](0.7,3.2){A} \uput[u](2.4,3.2){B} \uput[dr](2.4,1.6){C} \uput[l](0.7,1.6){D} \uput[r](4.2,3.2){E} \uput[dr](4.2,-0.3){F} \uput[dl](0.7,-0.3){G} \uput[dr](2.4,2.38){H} \uput[u](1.55,3.2){0,75}\uput[u](3.3,3.2){$x$} \uput[l](0.7,2.4){0,75}\uput[l](0.7,0.65){$x$} \end{pspicture} \end{center} \medskip Le carré ABCD a pour côté $0,75$ cm. On obtient le carré AEFG en prolongeant les côtés [AB] et[AD] d'une même longueur $x$, où $x$ est exprimé en centimètres. Le segment [ED] coupe le segment [BC] en H. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on se place dans le cas particulier où BE = 0,5. \begin{enumerate} \item Calculer le périmètre du carré AEFG. \item Calculer $\tan \widehat{\text{AED}}$ et en déduire la valeur arrondie, au degré près, de l'angle $\widehat{\text{AED}}$. \end{enumerate} \item On se place dorénavant dans le cas général où la valeur numérique de $x$ n'est pas donnée. \begin{enumerate} \item Montrer que le périmètre $p$ du carré AEFG est égal à $4 x + 3$. \item Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J), l'unité de longueur étant le centimètre. On utilise une feuille de papier millimétré. Tracer la droite d'équation $y = 4 x + 3$. \item \emph{En utilisant cette représentation graphique} (on laissera en évidence les tracés utiles) : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] trouver la valeur du périmètre $p$ du carré AEFG lorsque $x = 2$ ; \item[$\bullet~~$] trouver $x$ à $0,1$ cm près, pour que le périmètre du carré AEFG soit égal à $10$ cm. \end{itemize} Par le calcul, déterminer la valeur exacte de $x$ pour laquelle $p = 10$. \item Dans cette question, on se place dans le cas particulier où HB $= 0,6$ et BE $= x$. \end{enumerate} Calculer la valeur de BE. \end{enumerate} \end{document}