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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1997}
\lfoot{\small Créteil}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Créteil \footnote{Paris, Versailles} septembre 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer, puis simplifier:

\[A = \dfrac57 -\dfrac37 \times \dfrac29\,; \qquad  \qquad B = \dfrac32 : \left(\dfrac25 - \dfrac34\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Montrer que $C = \left(1 + \sqrt 2\right)^2 - \left(\sqrt 8 - 5\right)$ est un nombre entier.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Écrire en écriture décimale :

\[D = \left(-12 \times 10^{98}\right) \times \left(-2,1 \times 10^{-94}\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit $E = (3x + 5)^2-(3x + 5)(x  8)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $E$
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Résoudre l'équation :

\[(3x + 5)(2x + 13) = 0.\]

\medskip

\textbf{Exercice 6}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}c|c|}\hline
\footnotesize Calibre $c$  en grammes&\footnotesize $c \leqslant 55$&$55 < c \leqslant 60$&$60 < c \leqslant 65$&$65 < c \leqslant 70$&$70 < c \leqslant 75$&$75 < c \leqslant 80$&\footnotesize $80 < c$&\footnotesize Total\\ \hline
\footnotesize Nombre d'œufs		&\footnotesize 2 	&52 	&83	&	&		&110 	&\footnotesize 15	&\footnotesize 500\\ \hline
\footnotesize Fréquence en \%	&\footnotesize 0,4&10,4	&	&	&26,4	&22		&3	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau.
\item Calculez le nombre d'œufs dont le calibre est inférieur ou égal à $65$.
\item Quel est le pourcentage d'œufs dont le calibre est strictement supérieur?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.61\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre. 

Les dimensions relatives à la figure ci-contre sont :

AB = 9 ;  BP = 6 ; BM = 10 ; BC = 15 ;  AC= 12.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.3,3.2)
\pspolygon(0.2,2.6)(2,0.2)(4.9,2.6)%BAC
\psline(1.3,1.1)(3.3,2.6)%PM
\uput[d](2,0.2){A} \uput[ul](0.2,2.6){B} \uput[ur](4.9,2.6){C} \uput[u](3.3,2.6){M} \uput[dl](1.3,1.1){P}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite (PM) est parallèle à la droite (AC).
\item Calculer PM.
\item Montrer que ABC est un triangle rectangle.
\item Calculer $\tan \widehat{\text{CBA}}$. 

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$ (on donnera
la valeur arrondie à $1\degres$ près).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure F ci-dessous est constituée de segment  et d'un demi-cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire l'image F$_1$ de \textcircled{F} par la translation de vecteur $\vect{\text{JK}}$.
\item Construire l'image F$_2$ de \textcircled{F} par la symétrie centrale de centre J.
\item Construire l'image F$_3$ de \textcircled{F} par la rotation de centre J qui transforme I en L.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(19,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psarc[linecolor=red](5,4){2}{180}{360}\psline[linecolor=red](3,4)(7,4)
\psline[linecolor=red](5,4)(5,6)(6,6)(5,8)(4,5)(5,5)%mat
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](3,4)(7,4)(5,2)(5,8)(11,2)(11,8)
\uput[ur](7,4){A} \uput[ul](3,4){B} \uput[dl](5,2){I} \uput[ur](5,8){J}
\uput[ur](11,2){K} \uput[ur](11,8){L} \uput[ur](5,4){O}
\rput(5,3.5){\textcircled{F}} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{0.8\linewidth}
Sur une pelouse rectangulaire, ABCD, on souhaite monter un chapiteau, qui a la forme d'une pyramide. 

Les dimensions de la pelouse, exprimées en mètres, sont

AB $= 30$ et BC $= 80$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.16\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.3,4.3)
\psframe(0.2,0.2)(1.6,3.8)%DCBA
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,0.2)(1.1,1.4)%DGFE
\uput[l](0.2,3.8){A} \uput[r](1.6,3.8){B} \uput[dr](1.6,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[l](0.2,1.4){E} \uput[ur](1.1,1.4){F} \uput[d](1.1,0.2){G} \uput[l](0.2,2.6){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\textbf{A.}  Le quadrilatère DEFG est un rectangle

\medskip

On sait que GC $= 10$, et on pose AE $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer DG. 

Exprimer DE en fonction de x.
\item Montrer que l'aire $\mathcal{A}$ du rectangle DEFG est égale à :

\[- 20x + \np{1600}.\]

\item Montrer que l'aire $\mathcal{B}$ de la partie non hachurée est égale à :

\[20x+ 800.\]

\item Pour quelle valeur de $x$ ces deux aires sont-elles égales ?

Calculer cette aire.
\end{enumerate}

On va illustrer graphiquement ce calcul. On utilisera un quadrillage.

\begin{enumerate}[resume]
\item Le plan est muni d'un repère orthogonal d'origine O. On placera le point O en bas et à gauche de la feuille.

Sur l'axe des abscisses, où l'on représente les distances, 2 carreaux représentent 10 m.

Sur l'axe des ordonnées, où l'on représente les aires, 1 carreau représente 100 m$^2$.

Représenter la droite $\Delta_1$ d'équation $y = - 20x + \np{1600}.$
Représenter la droite $\Delta_2$ d'équation $y = 20x+ 800$.

Ces deux droites se coupent en P. Que représentent les coordonnées du point P ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.} 

\medskip
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
On suppose, dans cette partie, que $x = 60$.

Le quadrilatère DEFG est alors un carré de côté 20 mètres.

 C'est sur ce carré que l'on installe la chapiteau pyramide SDEFG : H est le centre du carré DEFG, et la hauteur SH mesure $15$ m. Des fils sont tendus entre S et les quatre coins du carré.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.26\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(2.8,3.5)
\psline(1.3,2.9)(0.2,0.2)(2,0.2)(2.4,1)(1.3,2.9)(2,0.2)%SDGFSG
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(0.6,1)(2.4,1)%%DEFD
\psline[linestyle=dashed](2,0.2)(0.6,1)(1.3,2.9)(1.3,0.6)%GESH
\uput[dl](0.2,0.2){\small D}\uput[ur](0.6,1){\small E}\uput[ur](2.4,1){\small F}
\uput[dr](2,0.2){\small G}\uput[d](1.3,0.6){\small H}\uput[u](1.3,2.9){\small S}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer EG, puis HG (on donnera les valeurs exactes).
\item Calculer la longueur SG. 

On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 1 mètre près.
\item Calculer le volume de la pyramide.
\end{enumerate}
\end{document}