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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1982}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les réels $a$ et $b$.

On pose $E = a(7a+6b)^2 - (a + b)(6a + 7b)^2 + b(7a + 6b)^2.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $E = 13(a - b)(a + b)^2$.
\item Calculer $E$ pour $a = -\dfrac{15}{13}$ et $b = -\dfrac{2}{13}$
\item Calculer $E$ pour $a = \sqrt  2 - \dfrac{1}{13}$ et $b = 2 + \dfrac{1}{13}$.
\item Calculer $E$ pour $a = 6$ et $b = -7$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant: 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3y - 2x &=& 12\\
2y + 3x &=& 21.
\end{array}\right.\]

\item Soit les applications $f,\: g$ et $h$, de $\R$ dans $\R$
données par

\begin{center}$f(x ) = \dfrac23 x + 4$\:;\quad $g(x) = - \dfrac32 x + 2$\quad  et\quad $h(x) = 2x$.\end{center}

Représenter graphiquement les applications $f,\: g$ et $h$ dans le même plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ (unité: le centimètre).

Démontrer que les droites représentatives des applications $f,\: g$ et $h$ passent par un même point dont on donnera les coordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

L'unité est le centimètre. 

Soit les points A, B, C et D tels que (A. B. C, D) détermine un carré. 

On désigne par O le point d'intersection des droites (AC) et (BD) supports des diagonales de ce carré. 

La distance OA des points O et A est égale à 2. 

On donne les points M et N tels que

\begin{center}$\vect{\text{OM}} = 3\vect{\text{OC}}$\quad  et \quad $\vect{\text{ON}} = 3\vect{\text{OB}}$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire la figure.
\item Démontrer que l'on a l'égalité 

\[\vect{\text{MO}} + \vect{\text{ON}} = 3\vect{\text{CB}}.\]

En déduire que les droites (MN) et (CB) sont parallèles.
\item Démontrer que le point C est le milieu du segment [AM].

On appelle I le point d'intersection des droites (DC) et (BM).

Démontrer que I est le milieu du segment [BM].
\item Soit J le point d'intersection des droites (CI) et (MN).

Démontrer que (C, M. J, B) détermine un parallélogramme.

Quelle est l'image de la droite (MN) par la symétrie centrale $S$ de centre I?

Justifier la réponse. 

Calculer les distances suivantes:

\begin{center}OM de O à M;

BM de B à M ;

CJ de C à J.\end{center}

\end{enumerate}
\end{document}