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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression

\[y = \dfrac{\dfrac{x-a}{x+a} + 2 + \dfrac{x + a}{x - a}}{1 + \dfrac{x + a}{x - a}}.\]

\item On pose $A = x - a ,\: B = x + a$.

Exprimer $y$ en fonction de $A$ et de $B$.

Simplifier la nouvelle expression.

Vérifier le résultat obtenu dans la question 1. 


Montrer que la fraction
\[\dfrac{\dfrac{x-a}{x+a} - \dfrac{x + a}{x - a}}{1 - \dfrac{x + a}{x - a}}\]
se réduit à la même expression que $y$.
\item Calculer $x$ pour que l'on ait $y = a$.

Que se passe-t-il si $a = 2$ ?

Application numérique : Calculer $x$ pour que

\[y = a = \sqrt 2.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne une cercle fixe $(\mathcal{C})$ de centre O et
l'on désigne par [AB] un diamètre fixe de $(\mathcal{C})$.

Soit C le milieu de l'un des arcs $\widearc{\text{AB}}$ et soit M un point variable sur l'arc 
$\widearc{\text{AC}}$.

On trace (MH), perpendiculaire à (AB) au point H, et l'on désigne par D l'intersection avec le cercle $(\mathcal{C})$ de la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{OMH}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les angles $\widehat{\text{ODM}}$ et $\widehat{\text{DMH}}$.

Montrer que le point D reste fixe sur le cercle $(\mathcal{C})$ lorsque le point M décrit l'arc $\widearc{\text{AC}}$.
\item Soit I l'intersection de (MD) avec la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{MOH}}$.

Calculer, en degrés, la grandeur de l'angle $\widehat{\text{OAD}}$.

Montrer que l'angle $\widehat{\text{OID}}$ mesure $45\degres$.

Que peut-on déduire de là relativement au quadrilatère OIAD ?
\item Calculer, en degrés, la grandeur de l'angle $\widehat{\text{AID}}$.

Que peut-on dire du point I lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{AC}}$ ?
\end{enumerate}
\end{document}