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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'équation
\[4x-3 = ax,\]

$a$ étant un nombre positif donné.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $x$ pour $a = 2$.

Écrire ensuite l'expression générale qui donne $x$ pour une valeur quelconque de $a$.

Dire pour quelles valeurs de $a$ la valeur trouvée pour $x$ sera positive et pour quelles valeurs elle sera négative.
\item Construire la droite $(D)$ qui représente la fonction 
\[y = 4x- 3.\]
 Indiquer quelle particularité offrira toute droite $(D')$ représentant la fonction $y = ax$ (le nombre $a$ est toujours positif).
 
 Pour quelle valeur de $a$ la droite $(D')$ est-elle parallèle à $(D)$?
 
 Faire la construction.
\item Résoudre graphiquement l'équation $4x - 3 = ax$ pour $a = 2$.

D'une manière plus générale, étudier l'intersection des droites $(D)$ et $(D')$ et vérifier graphiquement les résultats trouvés dans la question 1. sur le signe de $x$ pour une valeur quelconque de $a$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On considère un demi-cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, de centre O.

On mène la corde [AC] telle que l'angle $\widehat{\text{BAC}} = 30\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en fonction de $R$ la longueur des côtés [AC] et [BC], ainsi que celle de la hauteur [CH] du triangle ABC.
\item On joint le point O au milieu I de [AC].

Évaluer l'aire du quadrilatère OICH.
\item On mène en O la perpendiculaire à (AB), qui coupe (AC) en K.

Démontrer que 
\begin{center}AI $\times$ AK $= R^2$\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}