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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dijon juin 1959}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer à $\dfrac{1}{100}$ près par défaut la valeur numérique de chacune des deux expressions suivantes:

\begin{center}$\dfrac{5x - 1}{5} + \dfrac{3x-2}{3}$\qquad  et \qquad $\dfrac{8x - 3}{4}$\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item pour $x = 1$;
		\item pour $x = 100$;
		\item pour $x = - 100$.
	\end{enumerate}
\item  Résoudre l'équation 
\[\dfrac{5x - 1}{5} +  \dfrac{3x-2}{3} = \dfrac{8x - 3}{4}.\]

Auriez-vous pu prévoir le résultat par un simple examen de l'équation donnée ?
\item Simplifier l'expression 
\[\dfrac{\dfrac{5x - 1}{5} + \dfrac{3x-2}{3}}{\dfrac{8x - 3}{4}}\]

et calculer la valeur du résultat pour:
	\begin{enumerate}
		\item $x = \dfrac38$ ;
		\item  $x = 30$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $x$ à $\dfrac{1}{100}$ près par excès pour que cette 
expression soit égale  à $\dfrac{4}{15}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un losange ABCD. Sur le côté [AB], à partir de A, on prend une longueur AP telle que $\dfrac{\text{AP}}{\text{AB}} = m$ et, sur [CD], à partir de C, une longueur CQ telle que $\dfrac{\text{CQ}}{\text{CD}} = m$, $m$ étant compris entre 0 et 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
Démontrer que AP = CQ et en déduire la nature des quadrilatères DPBQ et AQCP.
\item Les droites (DA) et (QP) se coupent en un point I.

Calculer en fonction de $m$ le rapport $\dfrac{\text{ID}}{\text{IA}}$.
\item On donne à $m$ la valeur $\dfrac13$.

Démontrer que, dans ce cas, la droite (IB) est perpendiculaire à (DB).

Quelles sont alors les médianes du triangle rectangle DIB ?
\item Lorsque $m$ varie de 0 à 1, comment se déplace le point I ?
\end{enumerate}
\end{document}