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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

Soient les quatre droites
\[\begin{array}{l l l l}
\left(D_1\right)&y=x,&\left(D_2\right)&y= \phantom{-}12-x,\\
\left(D_3\right)&y= 2x,&\left(D_4\right)&y= -\dfrac x2 + 6.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire ces quatre droites (unité : le centimètre). 
\item Soient A, B, C et D les intersections respective de $\left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$, de $\left(D_3\right)$ et $\left(D_4\right)$, de $\left(D_4\right)$ et $\left(D_1\right)$, de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Calculer les coordonnées de ces points et celles de I, intersection de $\left(D_2\right)$ et $\left(D_4\right)$.
\item Montrer que (AC) est parallèle à O$y$. 

Calculer OA, OB, OC, OD.

En déduire que ABCD est inscriptible.

Montrer que [AC] est le diamètre du cercle circonscrit.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit le triangle équilatéral ABC, de côté $a$.

Sur la hauteur [AH] on prend le point D tel que $2 \overline{\text{DH}} =\overline{\text{AD}}$.

La droite (BD) coupe (AC) en E et la perpendiculaire C$x$ à (BC) en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que représentent (BE) et (CD) respectivement pour les triangles ABC et BCF ?
\item Montrer que le quadrilatère ABCF est inscriptible dans un cercle, dont on déterminera le centre.

Calculer, en fonction de $a$,
\begin{itemize}
\item le rayon, $R$, du cercle,
\item les longueurs des côtés [FC] et [FA] du quadrilatère.
\end{itemize}
\item Montrer qu'il existe un cercle inscrit dans le quadrilatère ABCF (c'est-à-dire tangent à ses quatre côtés).

Déterminer son centre, I, comme intersection de deux droites simples.
\end{enumerate}
\end{document}