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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

ALGÈBRE

Soit $2p$ le périmètre, connu et exprimé en mètres, d'un champ rectangulaire ; on cherche ses dimensions $x$ et $y$ en mètres.

Or, si l'on augmentait $x$ de $5$ m et $y$ de $3$ m, l'aire du rectangle augmenterait de $515$~m$^2$.


\begin{enumerate}
\item Écrire les deux équations liant $x$ et $y$ et calculer $x$ et $y$ en fonction de $p$.
\item Entre quelles valeurs doit-on choisir $p$ pour que le problème soit possible ?
\item On prend deux axes rectangulaires ; sur l'un on porte les valeurs de $p$, sur l'autre les valeurs correspondantes de $x$ et $y$.

Quelles seront les courbes représentant les variations de $x$ et $y$ en fonction de $p$ dans les limites déterminées ?

On prendra 1~cm pour représenter $10$~m sur chacun des deux axes.
\item Pour quelle valeur de $p$ le champ serait-il carré? Préciser alors la valeur de $x$ et de $y$.

Vérifier graphiquement.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O, de rayon $R$, une corde [AB] telle que 
AB $= R\sqrt 2$ et un point C du petit arc $\wideparen{\text{AB}}$.

Les perpendiculaires en A et B à (AB) recoupent le cercle respectivement en D et E.

La médiatrice de [AC] coupe (AD) en F.

La médiatrice de [BC] coupe (BE) en G.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le point de rencontre de ces médiatrices ?

Quelle est la nature du quadrilatère ABED ?
\item Montrer que les angles $\widehat{\text{OCF}},\: \widehat{\text{OAF}},\: \widehat{\text{OBG}} et \widehat{\text{OCG}}$ ont une valeur commune, que l'on calculera.

Que peut-on en déduire pour l'angle $\widehat{\text{FCG}}$ ?
\item Comparer les directions des côtés des angles $\widehat{\text{AFO}}$ et $\widehat{\text{BAC}}$, puis comparer les angles $\widehat{\text{AFO}},\: \widehat{\text{BAC}}$ et $\widehat{\text{COG}}$.
\item Que peut-on dire des triangles COF et CGO ?

En déduire que 
\begin{center}CO$^2 =$ CF $\cdot$ CG.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}