\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Dijon juin 1976},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

$x$ désignant un nombre réel, on pose 

\[\begin{array}{l c l}
A &=& (7x - 4)^2 - (3x + 2)^2,\\
B&=&(2x - 3)\left(2x- \dfrac37\right) + (3- 2x)\left(x + \dfrac{18}{7}\right),\\ 
C&=&(7x - 4)^2 - (3x + 2)^2 - 4(2x- 3)\left(2x - \dfrac37\right) - 4(3 - 2x)\left(x + \dfrac{18}{7}\right)
\end{array}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A, B$ et $C$.
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré au plus (par rapport à $x$): $A, B$ et $C$.
\item Soit $f$ la fonction rationnelle de la variable réelle $x$ telle que
\[f(x) = \dfrac{8(2x - 3)(2 x + 1)}{(2x - 3)(x - 3)}.\]

Calculer, si elles existent, les images par $f$ des réels suivants:
31
\[5 \:;\qquad \dfrac32 \:;\qquad - \dfrac12 \quad \text{et} \quad 3.\]

\item Calculer $f\left(\sqrt 2\right)$ et $f\left(\sqrt 2\right) + 8\left(1 + \sqrt 2\right)$.

Sachant que $1.414 < \sqrt 2 < 1,415$, établir les inégalités suivantes:

\[- 19,32 < f\left(\sqrt 2\right) < - 19,31.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Faire une figure (unité : 1~cm).

\smallskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B, C et D tels que
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 2\vect{\imath} + \vect{\jmath}$, \quad $\vect{\text{OB}} = 2\vect{\imath} - 4 \vect{\jmath}$, \quad $\vect{\text{OC}} = - 2\vect{\imath} -  \vect{\jmath}$, \quad $\vect{\text{OD}} = 6\vect{\imath} - 2 \vect{\jmath}$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que O est le milieu du bipoint (A, C).
\item Calculer la norme de chacun des vecteurs $\vect{\text{AC}}, \vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{AB}}$.

En déduire que le triangle (A, B, C) est isocèle.
\item Montrer que (A, D, B. C) est un parallélogramme.
\item Soit M le milieu du bipoint (C, D).

Montrer que M est le centre du cercle passant par les points A, O et B.
\item Soit P le milieu du bipoint (B, D).

Montrer que le point M est le milieu du bipoint (O, P) et que (A, O, B, P) est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{document}