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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose

\begin{center} $a = \sqrt{3 + 2\sqrt 2}$\quad  et \quad $b =  \sqrt{3 - 2\sqrt 2}$.\end{center}

Comparer les réels $\left(1 + \sqrt 2\right)^2$ et $a^2$, les réels $\left(1 - \sqrt 2\right)^2$ et $b^2$, puis les réels $1 + \sqrt 2$ et $a$,  les réels $1 - \sqrt 2$ et $b$.
\item Le plan étant muni du repère orthonormé \Oij{} d'axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, dessiner les représentations graphiques $\left(\mathcal{C}_f\right)$ et $\left(\mathcal{C}_g\right)$ respectives, des applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ données par
17
\begin{center}$f(x) = - \dfrac12 x + \dfrac72$\qquad et \qquad $g(x) =2x + 1$.\end{center}

Déterminer par le calcul les coordonnées du point A commun à $\left(\mathcal{C}_f\right)$ et $\left(\mathcal{C}_g\right)$.

Quelle est l'application linéaire $h$ de $\R$ dans $\R$ représentée par la droite (OA) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni du repère orthonormé \Oij{} d'axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, on considère les points A, B, E tels que

\[\vect{\text{OA}} = 12\vect{\imath}, \qquad  \vect{\text{OB}} = 9\vect{\jmath}, \qquad \vect{\text{OE}} = 3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'une équation de la droite (AB)
passant par les points A et B est $3x + 4y = 36$.
\item E est-il un point de la droite  ? 

Justifier la réponse.
\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{OE}}$ sont orthogonaux.
\item Soit le point H tel que $\vect{\text{OH}} = 1,44 \vect{\text{OE}}$.

Trouver les coordonnées de H. 

Démontrer que le point O se projette orthogonalement en H sur la droite (AB).
\item Calculer la distance AB des points A et B.

Calculer le cosinus de l'angle des demi-droites d'origine commune B passant respectivement par O et A. 

Calculer la distance HB.
\end{enumerate}
\end{document}