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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie : dominante numérique}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On dispose de \np{1450}~km de câble pour installer un réseau de télévision câblée dans une ville.

Les $\dfrac25$ de la longueur totale disponible du câble sont utilisés pour câbler le secteur Nord de la ville.

Pour câbler le secteur Sud de la ville les $\dfrac75$ de la longueur
du câble utilisée au Nord sont nécessaires. Le reste est gardé en réserve.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer par une fraction de la longueur totale du câble, la longueur du câble mis en réserve.
\item Calculer la longueur du câble destinée à chaque secteur et la longueur du câble mis en réserve.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On rappelle que l'aire $A$ d'un disque de rayon $R$ est donnée par la formule

\[A = \pi R^2\]

L'unité de longueur est le mètre.

La couronne circulaire hachurée représentée est délimitée par deux cercles de même centre O de rayons $a$ et $b$ avec $b < a$.

L'aire S de cette couronne est $S = \pi a^2 - \pi b^2$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\pscircle(0,0){3}
\pscircle(0,0){2.4}\uput[r](0,0){O}\uput[u](1.5;180){$a$}
\multido{\n=0.000+5.625}{65}{\psline(2.4;\n)(3;\n)}\uput[dr](1.2;225){$b$}
\psline[linewidth=1.25pt](2.4;225)(0;0)(3;180)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Mettre $a + b$ en facteur dans cette expression de $S$.
\item En utilisant 3 comme valeur approchée du nombre $\pi$, calculer l'aire $S$ (exprimée en mètres carrés) lorsque les dimensions sont $a = \np{44034}$ et $b = \np{44033}$.
\item Comparer l'aire de la couronne et l'aire du disque de rayon $b$ lorsque $a = 2$ et $b =\sqrt 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie }

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB $= 3$ et BC $= 6$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire une figure (expliquer).
\item Calculer AC.
\item Le point E est tel que A soit le milieu du segment [BE]. Démontrer que le triangle BCE est équilatéral.
\item Le point F est tel que la droite (BC) soit la médiatrice
du segment [EF].
Démontrer que le quadrilatère BECF est un losange.
\item La droite (AF) et la droite (EC) se coupent en N. Démontrer que A est le milieu du segment [NF].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie }

\medskip

Deux flacons contiennent des liquides différents qui s'évaporent peu à peu.

Sur le graphique on représente en fonction du nombre de jours d'évaporation la \emph{hauteur en millimètres} du liquide restant dans le premier flacon par le segment [AB].

On représente de même en fonction du nombre de jours d'évaporation la \emph{hauteur en millimètres} du liquide restant dans le deuxième flacon par le segment [KL].

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(2.8,6)
\psline(0,6)(0.2,6)(0.2,0)(2.2,0)(2.2,6)(2.4,6)
\psframe[fillstyle=vlines](0.2,0)(2.2,3.4)
\psline{<->}(2.6,0)(2.6,3.4)\rput{90}(2.75,1.7){\footnotesize hauteur de liquide}
\end{pspicture}
\end{center}



\begin{enumerate}
\item Pour le premier flacon, en utilisant le graphique ci- contre :
	\begin{enumerate}
		\item Lire la hauteur du liquide en début d'expérience. Donner ce résultat.
		\item Lire le nombre de jours nécessaires pour que tout le liquide soit évaporé. Donner ce résultat.
		\item Vérifier que les points A et B appartiennent à la droite d'équation x +4y -24=0.
	\end{enumerate}	
\item En utilisant le graphique, déterminer au bout de combien de jours les deux liquides ont la même hauteur dans les deux flacons.
\item Résoudre le système 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + 4y - 24 &=& 0\\
x + 2y - 21 &=&0.
\end{array}\right.\]

\item On admet qu'une équation de la droite (EF) est

\[x + 2y - 21 = 0.\]

Expliquer pourquoi on retrouve à la question précédente le résultat de la question 2.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(28,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt](0,0)(28,13)
\multido{\n=0.5+1.0}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(28,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(28,13)
\psdots(0,6)(21,0)(24,0)(15,3)(5,8)(0,10.5)
\psline[linewidth=1.25pt](0,6)(24,0) \psline[linewidth=1.25pt](0,10.5)(21,0)
\uput[ur](0,6){A} \uput[ur](24,0){B} \uput[ur](5,8){E}
\uput[ur](15,3){F} \uput[l](0,10.5){K} \uput[d](21,0){L}
\uput[d](25.5,0){Nombre de jours}\uput[r](0,12.75){hauteur en mm}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}