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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

$x$ et $y$ désignent des nombres réels.

On considère :

\[\begin{array}{l c l}
A &=&(x - 1)(6y + x)- (x - 3)^2\\
B&=&6xy + 2x - 9y - 9.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Montrer que $A - B$ peut s'écrire $3(x +y)$.
\item Calculer la somme $x + y$ pour que $A - B$ soit égale à $15$.
\item Résoudre le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x+ y&=&5\\
2x+9y&=&-17,5.
\end{array}\right.\]

\item Calculer pour $x = \dfrac52$ et $y = \dfrac52$ :
\begin{itemize}
\item la somme $x + y$ ;
\item la différence $A - B$ ;
\item la valeur prise par $B$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Soit le losange de sommets A, B, E, C dont les diagonales [AE] et [BC] se coupent en M.

Le côté [AB] mesure 4 cm, la diagonale [BC] mesure 4 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire une figure soignée que l'on complétera au fur et à mesure. 

On n'expliquera pas les constructions.
\item Soit F le milieu du segment [AC].

Démontrer que la droite (BF) est perpendiculaire à la droite (AC).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit D le symétrique de C par rapport à B. Démontrer que la droite (DA) est parallèle à la droite (BF).
		\item Déduire du résultat précédent que le triangle DAC est
rectangle en A.

Calculer AD.

Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$ donner une valeur approchée de AD à $0,01$ près.
	\end{enumerate}
\item Comparer la somme $\vect{\text{BA}} + \vect{\text{BE}}$ et le vecteur $\vect{\text{BC}}$.

En déduire que $\vect{\text{BA}} + \vect{\text{BE}} + \vect{\text{BD}} = \vect{0}$.

Montrer que $\vect{\text{MA}} + \vect{\text{MD}} + \vect{\text{ME}} = 3\vect{\text{MB}}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Un mur a la forme d'un trapèze rectangle ABCD de bases [OC] et [AB].

On désire poser sur ce mur, perpendiculairement à la droite (DC), du papier peint sans raccord.

Soit E la projection orthogonale de B sur la droite (DC). On sait que AB $= 212$ et AD $= 318$.

Pour tapisser ce mur, il faut sept bandes de papier de même largeur dont quatre bandes sur la partie rectangulaire ABED et trois bandes sur la partie triangulaire BEC.

Les bords de ces bandes, après collage sur le mur, sont parallèles à la droite (AD). Ainsi, par exemple, les droites (NN$'$), (MM$'$), (EB)... sont parallèles entre elles et perpendiculaires à (DC).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6,5.2)
%\psgrid
\pspolygon(1.2,4.2)(3.8,4.2)(5.9,0.2)(1.2,0.2)%ABCD
\multido{\n=1.20+0.65}{5}{\psline(\n,0.2)(\n,4.2)}
\psline(4.5,0.2)(4.5,2.9) \psline(5.2,0.2)(5.2,1.55)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.6,0.2)(0.6,4.2)\rput{90}(0.4,2.2){318}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.2,4.4)(3.8,4.4)\uput[u](2.5,4.4){212}
\uput[ul](1.2,4.2){A} \uput[ur](3.8,4.2){B} \uput[dr](5.9,0.2){C}
\uput[dl](1.2,0.2){D} \uput[d](3.8,0.2){E} \uput[d](4.5,0.2){M}
\uput[d](5.2,0.2){N} \uput[ur](4.5,2.9){M$'$} \uput[ur](5.2,1.55){N$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la largeur d'une bande de papier peint. 

En déduire que EC $= 159$.
\item Prouver que l'on a :

\[\dfrac{\text{CN}'}{\text{CB}} = \dfrac13\quad \text{et} \quad \dfrac{\text{CM}'}{\text{CB}} = \dfrac23.\]

\item On considère l'angle de sommet C du triangle rectangle CEB.

Vérifier que la tangente de cet angle est égale à 2 et
aussi à $\dfrac{\text{MM}'}{\text{MC}}$ et à $\dfrac{\text{NN}'}{\text{NC}}$.

En déduire que MM$' =212$ et NN$' = 106$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la longueur de papier peint nécessaire ?
		
\emph{Remarque :} Les parties enlevées dans les bandes rectangulaires de longueur EB, MM$'$, NN$'$ ne sont pas utilisées.

		\item Le papier peint est disponible en rouleaux. Chacun de ces rouleaux correspond à une longueur de papier peint de 10 mètres.
		
Quel est le nombre de rouleaux nécessaires ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}