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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire le plus simplement possible et sans utiliser de valeurs approchées:

\[A = \dfrac57 + \dfrac{14}{25} \times  \dfrac{15}{49},\quad
B = (-2)^5  - 3^4, \quad C = \sqrt{18} - 2\sqrt{50}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire en notation scientifique:

\[D = \np{0,000 000 000 037}, \quad
E = \np{58 300 000 000},\quad
F = 6,2 \times  10^{25} \times 5 \times 10^{-4}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $G =25 - x^2- (5 - x)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $G$.
\item Factoriser $25 - x^2$. Factoriser $G$.
\item Résoudre l'équation $2x (5 - x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

A la pâtisserie, Juliette achète 7 croissants et 3 tartelettes, Roméo achète 2 croissants et 5 tartelettes. 

Le prix payé par Juliette est strictement supérieur au prix payé par Roméo.

Le prix d'une tartelette est 7 F{}. On désigne par $x$ le prix d'un croissant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par une inéquation et résoudre celle-ci.
\item Avec 5 F{}, peut-on acheter 2 croissants ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c r}
3x + y &=& 13\\
5x - 3y &=&10
\end{array}\right.$

\bigskip

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
%
%Dans un repère orthonormal (O, I, J), on construit les droites (D,), (D:?), (D.!), comme l'indique le graphique. La droite (D,) est parallèle à l'axe Cv·y).
%
%
%1) Donner une équation de (D,J.
%2) Laquelle des deux droites (D:Ûet (Dl)
%v=--x+4?
%3) Lire sur le graphique les coordonnées du point B. intersec- tion des droites (D,) et (D:.d.
%Retrouver ce résultat par le calcul.
%.2
%1
%a pour équation
%
%4)Ondonnelespoints
%E(2.2J.F(-2.10).G(/0 .6J.H(/4.-2J.
%a) Déterminer les coordonnées des vecteurs Et et Fïê. b) En déduire la nature du quadrilatère EFGH.
%l') Calculer les coordonnées du point d'intersection des seg- ments rEG] et [FH].
%
%\medskip
%
%\textbf{Exercice 2}
%
%\medskip
%
%1) Construire le triangle ABC rectangle en B,
%tel que AB =8 cm et BC =5 cm.
%Attention: faire la figure sur une feuille entière en plaçant le point B approximativement au centre de la feuille.
%Placer le point D du segment [AB], tel que BD =5 cm.
%
%2) Construire le triangle EFG symétrique du triangle ACD dans la symétrie de centre B.
%3) Construire le triangle MNP transformé du triangle ACD par la translation de vecteur cl1
%4) Construire le triangle IJK transformé du triangle AcD par la rotation de centre B et par laquelle D a pour image C.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Rappels:}

$\bullet~~$Longueur d'un cercle de rayon $R$ : $2\pi R$ 

$\bullet~~$Aire d'un disque de rayon $R$ :\, $\pi R^2$

$\bullet~~$volume un cône: $\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Dans un jardin public, un bassin d'eau a la forme d'un cône. La bordure de ce bassin est
un cercle de rayon OC $= 3$~m. Ce cercle est situé dans un plan horizontal. La droite (OS),
axe du cône, est verticale et OS $= 1,2$~m.

La figure donnée ci-contre n'est pas réalisée à l'échelle.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.7,-2.5)(2.7,0.6)
%\psgrid
\psellipse(0,0)(2.6,0.6)
\psellipticarc(0,-1.1)(1.25,0.3){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-1.1)(1.25,0.3){0}{180}
\psline(-2.45,-0.2)(0,-2.1)(2.45,-0.2)
\psline(0,-2.1)(1.4,-0.48)(0,0)%SCO
\psline[linestyle=dashed](0,-2.1)%OS
\psline[linestyle=dashed](0,-1.1)(0.65,-1.3)%O'C'
\uput[ul](0,0){O} \uput[ur](1.4,-0.48){C} \uput[ul](0,-1.1){O$'$} \uput[dr](0.65,-1.3){C$'$} \uput[d](0,-2.1){S} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle longueur de grillage, à 1 m près par excès, faudra-t-il pour entourer ce bassin?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de ce bassin, à 0,001 m$^3$ près par excès.
		\item Combien de litres d'eau faut-il pour remplir ce bassin ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle SOC ?
		\item Calculer CS à $0,1$ m près par défaut.
		\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{OSC}}$.
	\end{enumerate}	
\item Lorsque le bassin est partiellement rempli, l'eau occupe un cône de hauteur SO$'$ et dont la base est le disque de rayon O$'$C$'$. 
	
Le graphique qui suit représente les variations du volume de l'eau contenue dans le bassin en fonction de la hauteur du cône d'eau.
	\begin{enumerate}
		\item Le volume d'eau est-il proportionnel à la hauteur du cône
d'eau ? Justifier votre réponse.
		\item Par une lecture graphique. répondre aux questions suivantes :
\begin{itemize}
\item Le volume d'eau étant de 1.4 m$^3$ quelle est la hauteur
d'eau dans le bassin ?
\item La hauteur de l'eau dans le bassin étant de 1 m, quel est le
volume de l'eau contenue dans le bassin ?
\item Quelle est la hauteur du cône d'eau lorsque le volume de
l'eau contenue dans le bassin est la moitié de la capacité du
bassin ?
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{xunit=8cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.5)(1.3,12.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1.3,12.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1.2}{ 3.14159 x 3 exp mul 0.48 div}
\uput[u](1.15,0){hauteur (en mètre)}
\uput[r](0,12.2){Volume (en mètres cubes)}
\psline[ArrowInside=->](1.2,0)(1.2,11.31)(0,11.31)
\uput[l](0,1){1}
\uput[l](0,11){11}
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\uput[d](1.2,0){1,2}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,ticks=y]{->}(0,0)(0,0)(1.3,12.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}