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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne l'expression
\[
E= (7x - 1)^2  - (7x - 1)(3x + 2).\]


\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x = -2$.
\item Mettre cette expression sous forme d'un produit de facteurs.
\item Trouver pour quelles valeurs de $x$ cette expression est nulle.

Pour quelles valeurs est-elle égale à 3 ?
\item On pose $y = \dfrac{E}{7x - 1}$.

Calculer $y$.

Représenter graphiquement $y$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Étant donné un triangle ABC, rectangle en A, on construit le cercle $\mathcal{C}$ ayant pour diamètre la médiane [AM] ; il coupe en A et P le côté [AB], en A et N le côté [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le cercle $\mathcal{C}$ passe par le pied H de la hauteur issue de A et que P et N sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].
\item Quelle est la nature du quadrilatère APMN ?
\item On suppose le point A mobile sur un demi-cercle de diamètre [BC] limité à ces deux points supposés fixes.
	\begin{enumerate}
		\item Sur quelles courbes se déplacent, dans ces conditions, les points P et N ?
		\item Montrer que, dans ce mouvement, la direction et la grandeur du segment [PN] restent constantes.
	\end{enumerate}
\item Lorsque l'angle $\widehat{\text{ABC}} = 60\degres$, calculer l'aire du quadrilatère APMN en fonction de BC~$=~2R$.
\end{enumerate}
\end{document}