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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Dijon~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\medskip

Soient les expressions $A(x)$ et $B(x)$ suivantes:

\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x + 1)^2- (x + 6)^2\\
B(x) &=& 9 - 6x + x^2 - 4(x - 3)(x + 1).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre chacune des expressions $A(x)$ et $B(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Simplifier la fraction rationnelle $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$ ; on obtient 
la fraction rationnelle $E(x)$. 

On précisera pour quelles valeurs de la variable $x$ les fractions $F(x)$ et $E(x)$ ne sont pas équivalentes.
\item Résoudre les équations:
	\begin{enumerate}
		\item $E(x) = 1$

		\item $E(x) = \dfrac{- 15}{x + 9}$.
	\end{enumerate}
\item Construire dans un système d'axes de coordonnées $(x\text{O}y)$, les droites $D_1$ et $D_2$ qui représentent les fonctions :

\[y_1 =x-5 \qquad \text{et}\qquad  y_2 = 3 - x.\]

Quelle est la position relative des deux droites $D_1$ et $D_2$.

Retrouver graphiquement le résultat du \textbf{3.  a.}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et de centre O.

On prend un point C de (AB) tel que AC $= \dfrac{4R}{3}$ ; par C
on mène une perpendiculaire à (AB) qui coupe le cercle en D.

La perpendiculaire (OH) abaissée de O sur la corde [AD] coupe (CD) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (OH) est la médiatrice du segment [AD] et calculer en fonction de $R$ les longueurs CD, AD, BD et OH.
\item Démontrer que les quadrilatères AHEC et DHOC sont inscriptibles ; on appelle I et J les centres des cercles circonscrits respectivement à AHEC et DHOC.
\item Montrer que le triangle IJH est rectangle en H, et que les triangles AHO et ECO sont semblables.

Calculer en fonction de $R$ les longueurs des segments EO, CE et IJ.
\end{enumerate}
\end{document}