\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Dijon septembre 1972},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{septembre 1972}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit un carré (ABCD), de centre O, dont le côté mesure 50 mm.

Soit M un point de la diagonale [AC]

La perpendiculaire à (AC) passant par M partage le carré en deux polygones. On appelle F celui des deux polygones dont A est un sommet.

Soit $x$ la longueur de [AM] et soit $y$ le périmètre de F (mesurés en millimètres).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ le polygone F est-il un triangle ? un pentagone ?

Que peut-on dire de F lorsque M est en A ; lorsque M est en C ?
\item Calculer $y$, en fonction de $x$, lorsque M appartient au segment [AO[, puis lorsque M appartient au segment [OC].
\item Représenter graphiquement les variations du périmètre $y$ de F, en fonction de $x$, lorsque M parcourt le segment [AC].

(On prendra la même unité de longueur sur les deux axes O$x$ et O$y$.)
\item Calculer $x$ lorsque le périmètre $y$ a pour mesure 180.

On donnera le résultat à $0,01$ près, par défaut. Le vérifier

sur le graphique.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un segment [AB). On prend un point M entre A 
et B, tel que $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}} = \dfrac23$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du segment [AB], sachant que MA mesure 40~mm.

\item Existe-t-il un point M$'$ différent de M, tel que $\dfrac{\text{M}'\text{A}}{\text{M}'\text{B}} = \dfrac23$ ?

Préciser sa position. On calculera, par exemple, M$'$A et M$'$B.
\item Trouver un nombre $a$ qui mesure un segment dont la longueur soit moyenne proportionnelle entre les longueurs de [MA] et de [MB].
\item On trace (MH), perpendiculaire à (AB) et de mesure $a$ (calculé à la question 3.).

Quelle est la nature du triangle (HAB) ?

Calculer l'aire du triangle (HAM$'$), puis celle du triangle (HBM$'$).
\end{enumerate}
\end{document}