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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small septembre 1993}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\emph{Les quatre exercices sont indépendants}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A,\: B,\: C,\: D$ en donnant les résultats sous la forme d'une fraction la plus simple possible.

\[A = \dfrac76 - \dfrac34\: ; \quad  B = 2 + \dfrac14\:;\quad   C = \dfrac{A}{B}\:;\quad  D = A + B.\]

\item Soit $E = 5\sqrt{12} -  4\sqrt{108}  + 2\sqrt{27}$.

Donner la valeur $E$ sous la forme $a\sqrt 3$ ($a$ est un entier relatif).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $F = (2x - 1)^2 -16$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Résoudre l'équation $(2x + 3)(2x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=& 11\\
3x + 5y &=&47
\end{array}\right.$

\item On dispose de 11 cubes, certains ont une arête de 3~, les autres ont une arête de 5 cm.

Si on empile tous les cubes les uns sur les autres, on obtient une pile de 47 cm de hauteur.

Mettre le problème en équations et déterminer le nombre de cubes de chaque sorte.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
L'unité est le centimètre.

La figure ci-contre représente un cône de hauteur SO $= 30$ et de
diamètre de base AB $= 20$.

Les droites (CI) et (AO) sont perpendiculaires à la droite (SO).
\begin{enumerate}
\item On rappelle que : 

volume du cône $= \dfrac{\text{aire de base} \times \text{hauteur}}{3}$.

On prendra 3,14 pour valeur
approchée de $\pi$.

Calculer le volume de ce cône.
\item Calculer la longueur du
segment [SA].
\item Sachant que SI = 12, calculer CI.

En déduire la longueur du cercle de centre 1 et de rayon CI.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.9)(2,5.7)
\psellipticarc(0,0)(1.75,0.8){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.75,0.8){0}{180}
\psellipticarc(0,3.5)(0.6,0.25){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,3.5)(0.6,0.25){0}{180}
\psline(-1.75,0)(0,5.4)(1.75,0)
\psline[linestyle=dashed](-1.75,0)(1.75,0)
\psline[linestyle=dashed](0,5.4)
\psline[linestyle=dashed](-0.6,3.5)(0.6,3.5)
\psframe(-0.2,0.2)\psframe(0,3.5)(-0.2,3.7)
\uput[l](-1.75,0){A} \uput[r](1.75,0){B} \uput[l](-0.6,3.5){C} \uput[r](0.6,3.5){D}
\uput[ur](0,3.5){I} \uput[d](0,0){O} \uput[u](0,5.4){S} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal et l'unité est le centimètre. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 2x + 1$.
\item Tracer la droite $\left(D_2\right)$ d'équation $y = - \dfrac12 x + \dfrac72$.
\item Montrer que les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ sont perpendiculaires.
\item Lire sur le graphique les coordonnées du point d'intersection T de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle ABC tel que AB = 5,4 ; AC = 7,2 ; BC = 9. Placer O, milieu du segment [BC].
\item Montrer que ABC est un triangle rectangle.
\item Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC et préciser son centre et son rayon.
\item Sur l'arc $\wideparen{\text{OC}}$ ne contenant pas A, placer le point L tel que BL $= 3,5$.

Quelle est la nature du triangle BCL ? Justifier la réponse.
\item Déterminer $\sin \left(\widehat{\text{BCL}}\right)$.

Donner la mesure arrondie à l'unité près de l'angle $\widehat{\text{BCL}}$.
\item On place un point M quelconque sur le segment [AB].

On pose AM $= x$.

La parallèle à la droite (BC) passant par M coupe la droite (AC) en K.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer AK en fonction de $x$.
		\item Donner l'aire du triangle AMK en fonction de $x$.
		\item Calculer la valeur de cette aire pour $x = 3$.
		\item Calculer la valeur exacte de $x$ pour que cette aire soit égale à $12$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}