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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small septembre 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression $E = (7x - 2)^2 - 16$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $E$.
		\item Factoriser $E$.
		\item Résoudre l'équation :
		
\[(7x + 2)(7x - 6) = 0\]

	\end{enumerate}
\item Écrire $F=5\sqrt{18}+ \sqrt{50} -3\sqrt 2$ sous la forme $a\sqrt 2$ où $a$ est un
nombre entier.
\item Le volume $V$ d'une boule est donné par la formule:

$V = \dfrac{4\pi R^3}{3}, \:R$ étant le rayon de la boule.

On prendra $\dfrac{22}{7}$ comme valeur approchée de $\pi$.

Calculer le volume d'une boule de rayon $7$ cm. (Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.)
\item Résoudre le système d'équations suivant: 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x - \phantom{2}y 	&=& 0\\
\phantom{2}x - 2y	&=&- 18
\end{array}\right.\]

\item Dans un restaurant, à 12 heures, il y a deux fois plus de personnes dans la zone \og non-fumeurs\fg{} que dans la zone \og fumeurs \fg.

À 12 h 30, six personnes viennent s'installer dans la zone \og fumeurs \fg, tandis que six autres personnes quittent la zone \og non-fumeurs \fg.

Il y a alors deux fois plus de personnes dans la partie \og fumeurs\fg{} que dans la partie \og non-fumeurs \fg.

Combien de personnes y avait-il dans chaque zone de ce restaurant à 12 heures ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.66\linewidth}
Le clocher d'une église est formé par une pyramide régulière ABCDE dont la base est un carré de centre O de 6 m de côté et dont la hauteur [AO] mesure $12$~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de EC et de OC.
\item Montrer que la mesure exacte de AC est $9\sqrt{2}$~m.
\item H étant le projeté orthogonal de A sur (CD), montrer que la mesure exacte de AH est $3\sqrt{17}$m.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(4.5,6.8)
\pspolygon(0.3,2.8)(1.2,0.8)(4,0.8)(2.1,6.5)(1.2,0.8)%BCDACB
\psline(2.1,6.5)(0.3,2.8)%AB
\psline(0.3,2.8)(0.3,2)\psline(1.2,0.8)(1.2,0)\psline(4,0.8)(4,0.0)
\psline[linestyle=dashed](1.2,0.8)(3.1,2.8)(4,0.8)(0.3,2.8)%CEDB
\psline[linestyle=dashed](0.3,2.8)(3.1,2.8)(2.1,6.5)(2.15,1.8)
\uput[u](2.1,6.5){A} \uput[l](0.3,2.8){B} \uput[dl](1.2,0.8){C} \uput[r](4,0.8){D} \uput[ul](3.1,2.8){E} \uput[d](2.15,1.8){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume,start=4]
\item Calculer l'aire du toit (aire latérale de la ~yramide). On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ m près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit (O, I, J) un repère orthonormal, l'unité graphique étant le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points : A(5~;~4),\: B$(4~;~-1)$,\: C$(-1~;~-2)$,\: D(0~;~3).
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{OC}}$.
\item Calculer les distances AB et AD.
\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Problème}

\medskip

La marque d'automobile Citronault propose dans sa gamme le modèle \og Rapida \fg en deux versions : la Rapida \og E \fg{} qui utilise comme carburant de l'essence et dont le prix est de 110000 F ; la Rapida \og D \fg{} qui utilise du gazole et dont le prix est de 122 000 F. La Rapida \og E \fg{} consomme en moyenne $8$~l d'essence pour parcourir $100$~km.
La Rapida \og D \fg{} consomme en moyenne $6$~l de gazole pour parcourir 100 km.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que le prix de l'essence est de $6$~F par litre et le prix du gazole est de 4 F, montrer que la Rapida \og E \fg consomme 0,48 F de carburant au kilomètre et que la Rapida \og D \fg{} consomme $0,24$~F de carburant au kilomètre.
\item M. Lesautos achète une Rapida \og E \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle dépense totale aura-t-il réalisée pour parcourir \np{75000}~km ? 
		\item Quelle dépense totale réaliserait-il s'il ne parcourait que
\np{15000}~km?
	\end{enumerate}
\item M. Léconome achète une Rapida \og D \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle dépense totale aura-t-il réalisée lorsqu'il aura parcouru \np{75000} km ?
		\item Même question pour \np{15000}~km.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $E(x)$ et $D(x)$ représentant respectivement les dépenses réalisées par la Rapida \og E\fg{} et la Rapida \og D \fg{} pour $x$ kilomètres parcourus.
		\item Pour quelle distance parcourue la dépense totale est-elle la même pour les deux véhicules?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthogonal construire les droites $d_1$ et $d_2$ d'équations respectives :
		
y = 0,48x + \np{110000}

y = 0,24x + \np{122000}

(on prendra 1 cm pour \np{5000} kilomètres en abscisse et 1 cm pour \np{10000}~F en ordonnée).
		\item En utilisant le graphique:

\begin{itemize}
\item retrouver le résultat de la question 4. b ;
\item indiquer à partir de quelle distance parcourue la Rapida \og D \fg{} est plus avantageuse que la Rapida \og E \fg.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}