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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small février 1960}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& 9- 4x^2 ; \\
B(x) &=& (2x - 3)(5x - 1) - (2x- 3)(x + 1);;\\
C(x) &=& (2x - 3)^2 + 15 - 10x.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Décomposer chacune d'elles en un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Calculer l'expression
\[E(x) = A(x) + B(x) - 2 C(x),\]
en la mettant sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Calculer la valeur numérique de l'expression $(2x - 3) (- 2x + 11)$, pour
\[x = \dfrac{11}{2},\qquad  x = \dfrac{7}{5}, \qquad x = 0,08.\]
\item Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y_1  = 2x - 3$ \qquad et \qquad $y_2 = 2x + 11$.\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soient un cercle de diamètre [AB], un point C sur le segment [AB], un point M sur le cercle. 

Soit P le point pris sur la demi-droite [AM) tel que AP $\cdot$ AM = AC $\cdot$ AB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ABM et ACP sont semblables. Que peut-on dire du quadrilatère BMPC ?
\item (CP) coupe le cercle en I et J.

Comparer les arcs $\widearc{\text{AI}}$ et $\widearc{\text{AJ}}$.

Démontrer que les triangles ATP et AIM sont semblables.
\item En déduire que AI est moyenne proportionnel entre AP et AM.

Calculer AI, sachant que AB $= 9$~cm, AC $= 4$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}