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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Dijon}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Dijon juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On appelle téléviseur 16/9 un téléviseur dont la longueur de l'écran est égale aux $\dfrac{16}{9}$ de sa largeur.

Pour un tel téléviseur, calculer la longueur de l'écran lorsque la largeur est $41,4$ cm.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $E = (2x+3)^2 - 16$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ peut s'écrire : $E= 4x^2 + 12x - 7$.
\item Calculer $E$ pour $x = 2$, $x = \dfrac12$ et $x = 1 -  \sqrt 2$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(2 x + 7)(2 x - 1) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

 
Les numéros d'appel téléphonique en France commencent par 01, 02, 03, 04 ou 05.
 
Dans une entreprise ayant effectué \np{1500}~appels, on a relevé le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Début du numéro&01&02&03&04&05\\ \hline
Nombre d'appels&& 330&144&261&171\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'appels pour la région Ile-de-France (numéro commençant par 01) ?
\item Quel est le pourcentage d'appels pour la région Nord-Ouest (numéro commençant par 02) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On prend le centimètre pour unité de longueur.

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer dans ce repère les points : A(- 1 ; - 4) ; B(4 ; - 2) ; C(2 ; 3).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item Calculer la distance AB.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$ qui passe par B et qui a pour coefficient directeur : $- \dfrac52$.
		\item Vérifier par le calcul que le point C est sur la droite 
		$(\Delta)$.
	\end{enumerate}
\item Une équation de la droite (AB) est : $y = \dfrac25 x -  \dfrac{18}{5}$.

Montrer que les droites (AB) et $(\Delta)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(4,2.4)
\psframe(4,2)
\psline[linestyle=dashed](1,2)(1,1.4)%CN
\psline(1,1.4)(2,2)(3.5,1)%NEB
\psline[linestyle=dashed](3.5,1)(3.5,2)%BD
\uput[u](1,2){C} \uput[l](1,1.4){N} \uput[u](2,2){E} \uput[r](3.5,1){B} \uput[u](3.5,2){D}
\psframe(1,2)(1.2,1.8)
\psframe(3.5,2)(3.3,1.8)
\psarc(2,2){0.4}{180}{213}
\psarc(2,2){0.4}{324}{360}
\end{pspicture}
\end{center}

Le rectangle ci-dessus représente une table de billard.

Deux boules de billard N et B sont placées telles que :

CD = 90 ;\quad NC = 25 ;\quad BD = 35.

Les angles $\widehat{\text{ECN}}$ et $\widehat{\text{EDB}}$ sont droits.

Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet BEN, E étant entre C et D, et tel que  $\widehat{\text{CEN}} = \widehat{\text{DEB}}$.

On pose ED $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un encadrement de $x$.
		\item Exprimer CE en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item Dans le triangle BED, exprimer $\tan \widehat{\text{DEB}}$ en fonction de $x$.	
\item Dans le triangle NEC, exprimer $\tan \widehat{\text{CEN}}$ en fonction de $x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En égalant les deux quotients trouvés aux questions 2. et 3., on trouve l'équation :

\[35(90 - x ) = 25 x .\, \text{(on ne demande pas de le justifier.)}\]

 Résoudre cette équation.
		\item En déduire la valeur commune des angles $\widehat{\text{CEN}}$ et $\widehat{\text{DEB}}$
arrondie au degré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

La figure sera faite sur une feuille à part.

\emph{Les questions sont indépendantes, si on se sert des réponses données par l’énoncé.}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(15,9)
\psline(0,2)(15,2)
\psline(3,2)(3,8)
\psline(0,1.75)(0,2.25)\psline(6,1.75)(6,2.25)
\uput[dr](0,2){A} \uput[d](3,2){O} \uput[ur](3,8){B} \uput[d](6,2){F} \uput[d](15,2){C}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire en vraie grandeur la figure ci-dessus en tenant compte des renseignements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'unité de longueur est le centimètre ;
\item[$\bullet~~$] les points A, O, F, C sont alignés dans cet ordre ;
\item[$\bullet~~$] AC =15 ;\quad AO = OF = 3 ;\quad BD = 6 ;
\item[$\bullet~~$] les droites (BD) et (AC) sont perpendiculaires.
\end{itemize}
On complétera la figure au fur et à mesure des questions.
\item Prouver que AB $= 3 5$ et que BC $= 6 5$.
\item  Démontrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Construire le cercle (C) de diamètre [FC] qui recoupe la droite (BC) en H.
		\item Démontrer que le triangle FHC est rectangle.
		\item Démontrer que les droites (AB) et (FH) sont parallèles.
		\item Calculer CF puis CH.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle ABF est isocèle.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer par A la parallèle à la droite (BF), elle coupe la droite (HF) en G.
		\item Démontrer que le quadrilatère ABFG est un losange et préciser son périmètre.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que le triangle OBC a la même aire que le losange ABFG.
\end{enumerate}
\end{document}