\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small septembre 1997} \lfoot{\small Dijon} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Dijon septembre 1997 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère les nombres $A, B, C, D$ : \medskip \begin{enumerate} \item Mettre $A$ et $B$ sous forme de fraction irréductible. \[A = \dfrac54 + \dfrac34 \times \dfrac89\,; \quad B = \dfrac{\left(\dfrac43\right)^2}{\dfrac{32}{45}}.\] \item Donner la valeur de $C$ en notation scientifique. \[C = \dfrac{2,1 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-2}}.\] \item Mettre $D$ sous la forme $a \sqrt 3$ où $a$ est un entier relatif. \[D = 2\sqrt{27} 8\sqrt{48} + \sqrt{3}.\] \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne $E= (4x- 3)^2 - (4x - 3)(3x + 2)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer puis réduire $E$ \item Factoriser $E$ \item Résoudre l'équation $(4x - 3)(x - 5) = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Le diagramme circulaire ci-dessous donne les tailles t en centimètres des élè- ves d'un collège. L'effectif total est de $500$ élèves. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4.2,-2.5)(4.2,1.6) %\psgrid \pscircle(0,0){1.8} \pswedge(0,0){1.8}{-18}{18} \pswedge(0,0){1.8}{18}{90} \pswedge(0,0){1.8}{90}{219.6} \pswedge(0,0){1.8}{219.6}{306} \pswedge(0,0){1.8}{-54}{-18} \rput(-2.5,1.4){\footnotesize $145{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline Tailles: $t$ en cm&$125< t\leqslant 135$&$135 < t\leqslant 145$&$145< t\leqslant 155$&$ 155 < t\leqslant 165$&$165 < t \leqslant 175$\\ \hline \%&&&&&\\ \hline Effectifs&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Combien d'élèves ont une taille inférieure ou égale à $155$ cm ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip On donne un cône de révolution de sommet S et de hauteur SO $= 8$cm (voir figure ci-dessous). Le rayon de la base est $3$ cm. \emph{La figure n'est pas en vraie grandeur et on ne demande pas de la refaire} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.62,-1)(1.6,3) %\psgrid \psellipticarc(0,0)(1.4,0.45){180}{360} \psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.4,0.45){0}{180} \psline(-1.4,0.1)(0,2.8)(1.4,0.1)%BSA \psline(0,2.8)(-0.4,-0.4)%SM \uput[u](0,2.8){S} \uput[l](-1.4,0){B} \uput[r](1.4,0){A} \uput[d](0,0){O} \uput[dl](-0.4,-0.4){M} \psline[linestyle=dashed](-1.4,0.1)(1.4,0.1) \psline[linestyle=dashed](0,2.8) \end{pspicture} \end{center} \emph{Les questions suivantes sont indépendantes} \begin{enumerate} \item Calculer la longueur de la génératrice [SA). Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,1 cm. \item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{OSA}}$ arrondie au degré. \item Calculer le volume du cône en prenant pour $\pi$ la valeur approchée $3,14$. \item Dessiner le disque de base en vraie grandeur, tracer le diamètre [AB] et placer sur le cercle un point M tel que AM $= 5$ cm. \item Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifier. \item Soit E le point du rayon [OB] tel que OE $= 1$ cm. Par E, tracer la parallèle à la droite (BM), elle coupe la droite (AM) en F. Calculer la longueur AF, puis donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{center} \psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(16,13) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt] \pspolygon[linewidth=1.25pt](6,8)(12,8)(12,2)(6,2)(8,6)%ABCDE \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](2,8) \rput(9.5,5){\huge F} \psarc{->}(13,10){2}{0}{80} \uput[d](2,8){O} \uput[l](6,8){A} \uput[ur](12,8){B} \uput[dr](12,2){C} \uput[dl](6,2){D} \uput[r](8,6){E} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Reproduire la figure {\huge F} ci-dessus sur une feuille quadrillée en plaçant le point O à mi-hauteur de la feuille et à 2 cm de la marge. \item En utilisant uniquement le quadrillage \begin{enumerate} \item Construire les points R, K et S tels que: \[\vect{\text{BR}} = \vect{\text{AE}}, \vect{\text{CK}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{AE}}, \vect{\text{ES}} = \vect{\text{EA}} + \vect{\text{ED}}.\] \item Construire l'image $F_1$ de la figure {\huge F} par la translation de vecteur DB. \item Construire l'image $F_2$ de la figure {\huge F} par la rotation de centre O, d'angle $90\degres$, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre c'est-à-dire dans le sens indiqué par la flèche. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip À un examen, un élève passe deux épreuves, chacune notée sur 20. L'une est écrite (la note est désignée par $x$) et l'autre orale (la note est désignée par $y$). Les coefficients des épreuves sont respectivement 3 et 1. La moyenne $m$ de l'élève est donc déterminée de la manière suivante: \[m = \dfrac{3x + y}{4}\] Pour être reçu à l'examen, il faut avoir une moyenne supérieure ou égale à 10. \emph{Les questions $1$, $2$ et $3$ du problème sont indépendantes} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la moyenne d'André qui a eu 8 à l'écrit et 12 à l'oral. Est-il reçu ? \item Calculer la moyenne de Béatrice qui a eu 13 à l'écrit et 6 à l'oral. Est-elle reçue ? \item Claude a 9 à l'écrit, quelle note lui faut-il au moins à l'oral pour être reçu ? \end{enumerate} \item Dans cette question, on s'intéresse aux élèves qui sont reçus avec une moyenne égale à 10, c'est-à-dire pour lesquels $\dfrac{3x + y}{4} =10$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\dfrac{3x + y}{4} =10$ peut s'écrire $y= - 3x+ 40$. \item Dans un repère orthonormal, tracer la droite d'équation $y= - 3x+ 40$. Dessiner le repère sur une feuille millimétrée en prenant $0,5$ cm pour unité graphique et en mettant l'origine en bas et à gauche. \item Denis a eu $12$ à l'écrit. À l'aide du graphique, déterminer sa note à l'oral. \item Émilie a eu $7$ à l'oral. À l'aide du graphique déterminer sa note à l'écrit. Retrouver ce résultat par le calcul. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l} 3x+ y&=& 36\\ x+ 3y&=& 48 \end{array}\right.$ \item Fabien n'est pas reçu, il a 9 de moyenne. Il s'aperçoit qu'en intervertissant ses notes d'écrit et d'oral, il aurait eu une moyenne de 12. Quelles sont ses notes à l'écrit et à l'oral ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}