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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Djibouti}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Djibouti~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\medskip

Sur un axe d'origine O, l'unité de longueur est le centimètre.

On place le point A d'abscisse $+3$ et le point B d'abscisse $-2$.

Un point M de l'axe a pour abscisse $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $x$ pour que $3 \overline{\text{MA}} + 2 \overline{\text{MB}} = 0$.
\item Déterminer $x$ pour que : \:$\dfrac{\overline{\text{MA}}}{\overline{\text{MB}}} = - \dfrac{1}{2}$.
\item Déterminer $x$ pour que $3 \overline{\text{MA}}^2 + 2 \overline{\text{MB}}^2 = 5\overline{\text{OM}}^2$.
\item Où doit se trouver M pour que soit vérifiée l'inégalité :

\[\dfrac{\overline{\text{MA}}}{\overline{\text{MB}}} + \dfrac{1}{2} > 0 ?\]
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

On a un rectangle ABCD et un point E quelconque de [CD]
(E compris entre C et D).

Par A on mène la perpendiculaire à (AE) qui coupe (BC) en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère AFCE est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre O.

En déduire que les triangles AEF et ABC sont semblables.
\item On suppose que l'angle $\widehat{\text{CAD}}$ vaut $60\degres$ et que la droite (AE) est bissectrice de cet angle.

Sachant que DE $= a$, calculer AE, AD, EF{}, AF{}.
\end{enumerate}
\end{document}