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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Djibouti}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Djibouti juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction $\dfrac pq$\:
$\left(p \in \Z, \:  q\in \Z^*\right)$.

$\dfrac{6}{16} + \dfrac58 + 1-\dfrac56 - \dfrac{14}{12}$\quad et \quad $\dfrac75 \left(\dfrac{10}{21} - \dfrac57\right)$

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Justifier les égalités :

$8 + 5\sqrt{18} + 3 \sqrt{32} - 7\sqrt{98} - 5 = 3 - 22\sqrt 2.$

\smallskip

$\left(3\sqrt 5 - \sqrt 2\right)\left(3\sqrt 5 + \sqrt 2\right) = 43$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ désignant un nombre réel on considère l'application de $\R$ dans $\R$ :

\[f(x) = 25x^2 - 1 - 5(5x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et $f\left( -\dfrac15\right)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Calculer $f\left(\sqrt 2\right)$.

On donne : $1,41 < \sqrt 2< 1,42$.

Encadrer $f\left(\sqrt 2\right)$ par deux nombres décimaux $a$ et $b$ tels que : 

\begin{center} $a < f\left(\sqrt 2\right) < b$ \quad et\quad $0 < b - a \leqslant 25\cdot 10^{-2}.$\end{center}

Justifier toutes les étapes du raisonnement.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} avec $\left|\vect{\imath}\right|= \left|\vect{\jmath}\right|= 1$ (cm- (voir la figure ci-dessous).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10](0,0)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\pspolygon[linewidth=1.3pt,linecolor=blue](2,3)(6,6)(0.5,5)%ABC
\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,6)(0,6)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,5)(0,5)
\uput[dr](2,3){A} \uput[ur](6,6){B} \uput[ul](0.5,5){C}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}

\bigskip

A(2~;~3), \qquad B(6~;~6), \qquad C$\left(\dfrac12~;~5\right)$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire les points A, B, C dans le repère \Oij.
\item Montrer par le calcul que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Construire les symétriques A$'$, B$'$, C$'$ des points A, B, C dans la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses.

Pour quelle raison le triangle A$'$B$'$C$'$ est-il un triangle rectangle ?
\item Construire A$''$, B$''$, C$''$ symétriques des points A, B, C dans la symétrie centrale par rapport à l'origine du repère.

Pour quelle raison le triangle A$''$B$''$C$''$ est-il rectangle ?
\item Placer sur la figure les points F, G et H tels que:

\begin{center}F$(-6~;~6)$;\qquad  $\vect{\text{OG}}\left(-\dfrac12~;~5\right)$\quad  et \quad $\vect{\text{OH}} = -2 \vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$\end{center}

Établir que FGH est un triangle rectangle en H et qu'il est
symétrique du triangle ABC par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Toutes les réponses doivent être justifiées par un raisonnement ou un calcul précis.

Deux rectangles F et G ont les dimensions suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Longueur&Largeur\\ \hline
F&10 m& 4 m\\ \hline
G &7 m &5 m\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On augmente la longueur de chaque rectangle d'un nombre $x$ (mesuré en mètres). 

On note $f(x)$ et $g(x)$ les aires des rectangles ABCD et A$'$B$'$C$'$D$'$ obtenus à partir de F et G. 
(Voir figures ci-après.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0),\: g(0); f(6),\: g(6) ;\: f(10),\: g(10).$
		\item Donner les expressions de $f(x)$ et de $g(x)$.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
\psframe(1,0.2)(6,2.4)%D'C'B'A'
\psline(4,0.2)(4,2.4)
\psframe(0.4,3.6)(6.6,5.2)%DCBA.
\psline(4.7,3.6)(4.7,5.2)
\uput[ul](0.4,5.2){A} \uput[ur](6.6,5.2){B} \uput[dr](6.6,3.6){C} \uput[dl](0.4,3.6){D}
\rput(2.55,4.4){F} \uput[l](0.4,4.4){4 m} \uput[d](2.55,3.6){10 m} \uput[d](5.65,3.6){$x$}
\uput[ul](1,2.4){A$'$} \uput[ur](6,2.4){B$'$} \uput[dr](6,0.2){C$'$} \uput[dl](1,0.2){D$'$}
\uput[l](1,1.3){5 m} \rput(2.5,1.3){G} \uput[d](2.55,0.2){7 m} \uput[d](5,0.2){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

Représenter graphiquement $f$ et $g$ ; ($1$~cm en abscisse représente
$1$~m et $1$~cm en ordonnée représente 10 m$^2$).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur pour laquelle l'aire $f(x)$ est égale  à l'aire $g(x)$.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire $g(x)$ est-elle supérieure à l'aire $f(x)$ ?
		\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire $g(x)$ est-elle inférieure à l'aire $f(x)$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quel nombre $x$ l'aire $f(x)$ est-elle égale à celle d'un carré dont un côté mesure $8$~m ?
		\item Même question pour l'aire $g(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}