\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Brevet Djibouti  juin 1990},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small  Djibouti }
\lfoot{\small juin 1990}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Djibouti juin 1990 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes}

L'unité employée est le centimètre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.7)
\psframe(0.2,0.5)(3.3,2.2)%ABCD
\psframe(4.5,0.2)(6.5,2.2)%EFGH
\uput[l](3.3,1.35){$x - 2$}
\uput[u](1.75,0.5){$x + 5$}
\uput[u](5.5,0.2){$x$}\uput[l](6.5,1.2){$x$}
\uput[ul](0.2,2.2){A} \uput[ur](3.3,2.2){B} \uput[dr](3.3,0.5){C} \uput[dl](0.2,0.5){D}
\uput[ul](4.5,2.2){E} \uput[ur](6.5,2.2){F} \uput[dr](6.5,0.2){G} \uput[dl](4.5,0.2){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne à $x$ la valeur 6. Représenter, en vraie grandeur,
le rectangle ABCD et le carré EFGH.
		\item Calculer l'aire du rectangle puis l'aire du carré que vous venez de dessiner.
	\end{enumerate}	
\item Lorsque $x = 0,8$, quelle est l'aire du carré?
Peut-on calculer l'aire du rectangle pour $x = 0,8$ ? Expliquer pourquoi.
\item Si l'aire du carré était égale à 144 cm$^2$, quelle serait alors l'aire du rectangle ?
\item Dans le cas général où $x$ représente un nombre quelconque :
	\begin{enumerate}
		\item Écrire l'aire $A_1$ du rectangle ABCD en fonction de $x$, puis montrer qu'elle peut se mettre sous la forme $x^2 + 3x - 10$.

Écrire l'aire $A_2$ du carré EFGH en fonction de $x$.
		\item Écrire la différence $A_1 - A_2$ en fonction de $x$.

En déduire pour quelle valeur de $x$, le rectangle et le carré ont
la même aire.

Faire la vérification en calculant $A_1$ et $A_2$ pour la valeur de $x$ trouvée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-1.5)(4,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](3.8,0){$x$}\uput[l](0,4.8){$y$}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-1.5}{3.5}{x 1 add}
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,4)(0,4)
\uput[u](1,0){I}\uput[r](0,1){J}\uput[dr](3.4,4.4){$(D)$}
\end{pspicture}
\end{center}

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij{} dont O$x$ 
et O$y$ sont les axes. A est le point de coordonnées (3~;~4).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $(D)$ est bien la droite d'équation $y = x + 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le schéma ci-dessus, construire la droite $(\Delta)$ d'équation $y= - x + 3$.
		\item Soit R le point de la droite $(\Delta)$ ayant pour abscisse $\dfrac53$ ; calculer son ordonnée (sous forme fractionnaire).
		\item Soit S le point d'intersection de $(\Delta)$ avec l'axe des abscisses. Placer S, puis calculer son abscisse.
	\end{enumerate}	
\item Les droites (D) et $(\Delta)$ se coupent en un point T.
	\begin{enumerate}
		\item Placer T. Lire sur le schéma, puis écrire les coordonnées de T.
		\item Retrouver par le calcul les coordonnées de T.
	\end{enumerate}	
\item Expliquer pourquoi les droites $(D)$ et $(\Delta)$ sont perpendiculaires.
\item Par le point M$(-1~;~3)$, tracer la droite $(D')$ parallèle à la droite $(D)$.

Déterminer, par le calcul, l'équation de la droite $(D')$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\textbf{Première partie}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.8,2.8)
%\psgrid
\pscircle(1.4,1.4){1}
\psline(0,2.62)(9.7,1.2)
\psline(0,0.2)(9.7,1.6)
\psline(1.4,1.4)(9.8,1.4)
\psline(1.4,1.4)(1.6,2.38)
\uput[ur](1.6,2.38){A} \uput[dr](1.5,0.4){B} \uput[l](1.4,1.4){O} \uput[u](8.37,1.4){S} \uput[dr](2.4,1.4){T} 
\uput[dl](0.6,0.8){$(C)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les droites (SA) et (SB) sont tangentes au cercle (C).
		
Pour quelle raison les triangles SAO et SBO sont-ils rectangles ?
		\item Expliquer pourquoi la droite (SO) est bissectrice de l'angle 
$\widehat{\text{ASB}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que le cercle (C) représente la Terre et que
S représente un satellite géostationnaire (immobile au-dessus de la Terre).

On prendra pour rayon de la Terre la valeur \np{6400} km et pour altitude du satellite la valeur \np{36000} km : OA = \np{6400} km ; TS = \np{36000} km.

Calculer la longueur OS puis la longueur SA (on arrondira au kilomètre le plus proche) en utilisant la table des carrés donnée ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& 64		& 419		& 420		&424\\ \hline
$x^2$	&\np{4096} 	&\np{175561}&\np{176400}&\np{179776}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Calculer $\sin \widehat{\text{ASO}}$.
		
À l'aide de la calculatrice ou du tableau suivant, en déduire la
valeur de l'angle $\widehat{\text{ASO}}$ (on arrondira au degré le plus proche).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés 	&6 			&7 			&8 			&9 			&10\\ \hline
Sinus	&\np{0,1045}&\np{0,1218}&\np{0,1391}&\np{0,1564}&\np{0,1736}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{ASB}}$, angle sous lequel on pourrait voir la Terre à partir du satellite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Le satellite a été mis sur orbite par une fusée. 840 secondes après le lancement de la fusée, celle-ci avait parcouru \np{3234} kilomètres.

Calculer la vitesse moyenne de la fusée en km/s puis en m/s.

\end{enumerate}
\end{document}