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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Égypte}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Égypte juin 1952~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En prenant le centimètre pour unité tracer sur le même graphique les droites dont les équations sont : 
\begin{center} pour $\left(D_1\right)\quad  y = x + 1$;\quad  pour $\left(D_2\right)\quad 3y + 2x = 18$.\end{center}
\item Résoudre le système 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&x+1,\\
3y+ 2x&=&18
\end{array}\right.\]
	\begin{enumerate}
		\item par le graphique ;
		\item par la résolution algébrique du système. 
	\end{enumerate}	
Comparer les résultats obtenus.

\item A étant le point de rencontre des deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$, établir l'équation de la droite (OA).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On considère un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et sa tangente [BY) au point B.

Un point M parcourt le demi-cercle et (AM) rencontre [BY) au point M$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles AMB et ABM$'$ sont semblables et en déduire la valeur constante du produit AM $\times $ AM$'$.
\item Lieu géométrique du point de rencontre G des médianes du triangle AMB.
\item On prolonge [AM] d'une longueur égale MN = AM.

Démontrer que le triangle ABN est isocèle et déterminer le lieu géométrique du point N.

Calculer la longueur des côtés et l'aire du triangle ABN lorsque l'angle $\widehat{\text{BAN}}$ est égal à $30\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}