\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Égypte juin 1959},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Égypte }}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1959~\decofourright\\[7pt]
Égypte}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs du premier degré les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& (x - 5)(3x - 1)- (x - 6)(x - 5),\\
B(x)&=&(2 - 3x)^2- (1 + 2x)^2.
\end{array}\]
\item Simplifier les fractions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
C&=&\dfrac{(x- 5)(3x- 1) - (x - 6)(x - 5)}{x - 5}\\
D&=&\dfrac{(2 - 3x)^2 - (1 +2x)^2}{1 - 5x}
\end{array}\]

\item Résoudre graphiquement le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y- 2x+6&=& 0,\\
y- 3+x&=&0 
\end{array}\right.\]
et vérifier le résultat par le calcul.


\item Former l'équation de la droite passant par le point I(3~;~0) et perpendiculaire à la droite d'équation $y - 3 + x = 0$.

\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en A, d'hypoténuse [BC] telle que BC $= a$ et telle que l'angle $\hat{\text{B}} = 60\degres$.

On trace le demi-cercle de diamètre [AC] et de centre O, ne coupant pas (BC).

Soit D le point de ce demi--cercle tel que l'angle $\widehat{\text{ACD}} = 30\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $a$ la longueur des segments [AB], [AC], [AD], [CD].
\item Montrer que les triangles ABC et ACD sont semblables.

Quel est le rapport de similitude $k$ \:($k < 1$) ?
\item Évaluer l'aire du triangle ABC et en déduire l'aire du triangle ACD.
\item Évaluer l'aire du secteur $\widearc{\text{AOD}}$.
\end{enumerate}
\end{document}