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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Espagne--Portugal}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Espagne--Portugal juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

Soient les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies par :
\begin{align*}
f \:\: &\R\longrightarrow \R\\
 &x \longmapsto (3x-5)^2 - (4 -x)^2\\
g  \:\: &\R\longrightarrow \R\\
 & x\longmapsto x^2 - 6x + 9 + (x - 3)(x + 2)
\end{align*}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Développer $f(x)$ et $g(x)$ et les écrire sous la forme de polynômes réduits
et ordonnés.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ les équations :
\begin{enumerate}
\item $g(x) = 0$ ;
\item $g(x) = 3$ ;
\item $f(x) = g(x)$.
\end{enumerate}
\item Soit $k$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ telle que
\[k(x)=\dfrac{4x-9}{x-3}\]
Quel est son ensemble de définition ?

Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ telle que $ h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Les fonctions rationnelles $h$ et $k$ sont-elles égales ?
\item Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que:
	\begin{enumerate}
		\item $k(x) =\dfrac{14}{5}$
		\item $h(x)=\dfrac{14}{5}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on donne les points 

\begin{center}A\ $(-2~;~1)$\ ;\quad B\ (0~;~5)\ ;\quad C\ (4~;~3)\ ;\quad  D\ (4~;~1)\ ;\quad  E\ $(2~;~-1)$. \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer ces points.
		\item Déterminer les coordonnées de K milieu de (A, C).
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{KA}}$, $\vect{\text{KB}}$, $\vect{\text{KC}}$, $\vect{\text{KD}}$, $\vect{\text{KE}}$ et calculer les normes de ces vecteurs.

En déduire que les points A, B, C, D, E appartiennent à un même cercle (G).
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation de la droite (L) tangente en B au cercle (G) est

\[x- 3y + 15 = 0\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite (AE) (on trouve $2y + x = 0$).
		\item Calculer les coordonnées du point M commun aux droites (L) et (AE).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}