\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm]{geometry}
\addtolength{\topmargin}{-1.59999pt}
 \setlength{\headheight}{13.59999pt}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Paris juin 2002},
allbordercolors = white} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{septembre 2002}}
\rfoot{\small{Groupe Est}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Est (Grenoble)~\decofourright\\[7pt]septembre 2002 }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,15cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère : A $ = \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5} : \dfrac{18}{7}$.

Calculer A en indiquant les étapes (on donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible).
\item On considère B $= \sqrt{25} + \sqrt{20} + \sqrt{80}$ et C $= \left(\sqrt{5} + 2\right)^2 + \left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)$.

Calculer B et C (on donnera les résultats sous la forme $a + b\sqrt{5}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs).
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère : $D = (3x - 7)^2 - 81$.
\begin{enumerate}
\item Développer $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(3x - 16) (3x + 2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de $496$ et de $806$.
\item  Écrire $\dfrac{496}{806}$ sous la forme d'une fraction irréductible.
\item  Calculer	$\dfrac{496}{806} - \dfrac{3}{26}$  (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Perrine a 100 euros. Elle souhaite acheter des disques et des livres.

Si elle achète 4 disques et 5 livres, il lui manque 9,50 euros.

Si elle achète 3 disques et 4 livres, il lui reste 16 euros.

Calculer le prix d'un disque et celui d'un livre.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(1~;~2),\quad B(3~;~0),\quad C$(-1~;~ -2)$.
\item On note D le milieu du segment [AB].

Calculer les coordonnées du point D.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D sur la figure. Construire le point E symétrique du point C par rapport au point D.
		\item Montrer que AEBC est un parallélogramme.
		\item Calculer les coordonnées du point E.
	\end{enumerate}
\item Calculer AE et EB.
\item En déduire que AEBC est un losange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un triangle ABC tel que :

AB= 4,5 \qquad  AC = 7,5 et BC = 6.

 Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item  Tracer le triangle ABC.

Placer le point E tel que les points A, C et E soient alignés dans cet ordre et que CE = 4.

Placer le point F tel que $\vect{\text{BA}} = \vect{\text{EF}}$.  On note G le point d'intersection des droites (BC) et (EF). Placer le point G.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la longueur EF. Justifier le résultat.
		\item  Calculer la longueur EG.
		\item  En déduire la longueur GF.
	\end{enumerate}
\item  On noce O le milieu du segment [CE].

Les droites (OG) et (CE) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre, l'unité d'aire est le centimètre carré, l'unité de volume est le centimètre cube.}

On considère le pavé droit ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$.

On note L le point d'intersection des segments [AC] et [BD].

On a creusé ce pavé en enlevant la pyramide OABCD de hauteur
[OL].

On a :  DD$'$ = 5, \quad DC = 6, \quad DA = 7.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,4)
\psline(3.7,0)(3.7,2.8)(0,2.8)(0,0)(3.7,0)(5.5,0.7)(5.5,3.5)(1.8,3.5)(0,2.8)%C'CDD'C'B'BAD
\psline(5.5,3.5)(3.7,2.8)%BC
\psline[linestyle=dotted](0,2.8)(5.5,3.5)(2.75,1.2)(1.8,3.5)(3.7,2.8)(2.75,1.2)(0,2.8)%DBOACOD
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.8,0.7)(1.8,3.5)%D'A'A
\psline[linestyle=dotted](1.8,0.7)(5.5,0.7)%A'B'
\psline[linestyle=dashed](2.75,1.2)(2.75,3.13)%OL
\uput[u](1.8,3.5){A} \uput[u](5.5,3.5){B} \uput[dr](3.7,2.8){C} 
\uput[dl](0,2.8){D} \uput[u](2.75,3.13){L} \uput[ul](1.8,0.7){A$'$} 
\uput[ur](5.5,0.7){B$'$} \uput[dr](3.7,0){C$'$} \uput[dl](0,0){D$'$} 
\uput[d](2.75,1.2){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

Dans cette partie, on a OL = 4.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, en vraie grandeur, la face ABCD et placer le point L.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer BD (on donnera une valeur arrondie au dixième). 
		\item  En déduire DL (on donnera une valeur arrondie au dixième).
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume du pavé droit ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$.
		\item Calculer le volume de la pyramide OABCD.
		\item En déduire le volume du pavé creusé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Dans cette partie, on pose OL $= x$, où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $5$.

Le pavé creusé que l'on obtient est le socle en bois d'un trophée.

Sur ce socle, on pose une pyramide en verre OEFGH qui est un agrandissement de la pyramide OABCD, de rapport 2.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.5)(7.5,5.5)
\psline(3.7,0)(3.7,2.8)(0,2.8)(0,0)(3.7,0)(5.5,0.7)(5.5,3.5)(1.8,3.5)(0,2.8)%C'CDD'C'B'BAD
\psline(5.5,3.5)(3.7,2.8)%BC
\psline[linestyle=dotted](0,2.8)(5.5,3.5)(2.75,1.2)(1.8,3.5)(3.7,2.8)(2.75,1.2)(0,2.8)%DBOACOD
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.8,0.7)(1.8,3.5)%D'A'A
\psline[linestyle=dotted](1.8,0.7)(5.5,0.7)%A'B'
\psline[linestyle=dashed](2.75,1.2)(2.75,3.13)%OL
\uput[ul](1.8,3.5){A} \uput[u](5.5,3.5){B} \uput[dr](3.7,2.8){C} 
\uput[dl](0,2.8){D} \uput[u](2.75,3.13){L} \uput[ul](1.8,0.7){A$'$} 
\uput[ur](5.5,0.7){B$'$} \uput[dr](3.7,0){C$'$} \uput[dl](0,0){D$'$} 
\uput[d](2.75,1.2){O} 
\pspolygon(-2.4,3.9)(4.3,3.9)(7.4,5.2)(1.1,5.2)%HGFE
\psline(0,2.8)(-2.4,3.9)%DH
\psline(3.7,2.8)(4.3,3.9)%CG
\psline(5.5,3.5)(7.4,5.2)%BF
\psline(1.8,3.5)(1.1,5.2)%AE
\uput[u](0.85,5.2){E} \uput[u](7.4,5.2){F} \uput[u](4.15,3.9){G} \uput[ul](-2.4,3.9){H} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le volume de la pyramide OABCD en fonction de $x$.
		\item  Montrer que le volume du socle en bois est $210 - 14x$.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que le volume de la pyramide en verre OEFGH est $112x$.
\item  Calculer la valeur de $x$ pour laquelle le volume de verre est égal à 2 fois le volume de bois.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip
 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par
$f~:~x \mapsto 210 - 14x$	et	$g~:~x \mapsto 112x$.
Lorsque $x$ est compris entre $0$ et $5$, la fonction $f$ représente les variations du volume de bois et la fonction $g$ représente les variations du volume de verre.
\begin{enumerate}
\item  Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre $0$ et $5$. Pour le repère, on prendra
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] l'origine en bas à gauche de la feuille ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 2 cm pour 1 unité ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 25 unités.
\end{itemize}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On veut que le volume de bois et le volume de verre soient égaux. En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de $x$ pour qu'il en soit ainsi (faire apparaître le tracé ayant permis de répondre).
		\item Retrouver ce résultat par un calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}