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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\lfoot{\small{juin 2000}}
\rfoot{\small{Centres étrangers II}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Centres étrangers II juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1} :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer
\[A= \dfrac{8}{12}  + \dfrac16 \div \dfrac25.\]

(on écrira les étapes du calcul et on donnera le résultat sous forme de fraction irréductible).
\item Calculer 
\[B = \left(5 - \sqrt 3\right)\left(5 + \sqrt 3\right).\]

\item Calculer 
\[C = 4\sqrt 5 - 3\sqrt{45} + \sqrt{500}.\]
 (on donnera le résultat sous la forme $a\sqrt b$, avec $b$ entier positif le plus petit possible).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2} :

\medskip

Soit $D = (3x + 1)^2 - 36$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = - \dfrac13$.
\item Résoudre l'équation 
\[(3x + 7)(3x - 5) = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1} :

\medskip

Dans chacun des trois cas de figure ci-dessous et en utilisant les informations données, calculer, en justifiant, la valeur exacte de la longueur demandée.

{\emph Attention, certaines informations peuvent être inutiles et les dimensions ne sont pas respectées sur les figures.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1. } Calculer BC&\textbf{2. } Calculer EG&\textbf{3.~} Calculer ST\\ \hline
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(1.5,2)
\pspolygon(-1.4,-0.3)(1.4,0.3)(0.5,1.3)%GCB
\psdots(0,0)
\uput[d](0,0){O} \uput[u](0.5,1.3){B} \uput[dr](1.4,0.3){C} \uput[dl](-1.4,-0.3){G}
\rput(-0.7,-0.15){$\backslash$}\rput(0.7,0.15){$\backslash$}
\rput{-140}(0.5,1.3){\psframe(0.25,0.25)}
\end{pspicture}&\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(2.9,1.8)
\pspolygon(0.2,0.3)(2.7,0.3)(1.6,1.4)%FGE
\psline(1.6,1.4)(1.6,0.3)%EH
\rput(1.6,0.3){\psframe(0.22,0.22)}
\uput[u](1.6,1.4){E} \uput[dl](0.2,0.3){F} \uput[dr](2.7,0.3){G} \uput[d](1.6,0.3){H}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.1,2.3)
%\psgrid
\psline(0,0.3)(2.8,0.3)
\psline(0.5,0.9)(2.4,0.9)
\psline(0.2,2.1)(2.9,2.1)
\psline(0,0)(2.8,2.1)
\psline(0.8,2.1)(2.8,0)
\uput[dl](0.8,2.1){Q} \uput[dr](2.8,2.1){R} \uput[u](1.6,1.2){P} \uput[ul](1.2,0.9){U}
\uput[ur](1.95,0.9){V} \uput[dr](0.4,0.3){S} \uput[dl](2.5,0.3){T}
\end{pspicture}\\

OG = 5~cm

BG = 8~cm& HG = 4~cm ;

$\widehat{\text{EFH}} = 40\degres$ ;

$\widehat{\text{GEH}} = 30\degres$.&
RP = 4~cm ; QR = 2,4~cm ;

PV = 2~cm ; PS = 4,5cm;

(QR) // (UV) et (UV) // (ST).\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2} :

\medskip

SABC est une pyramide de sommet S. La base ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que AC $= 3$~cm. La hauteur [SA] mesure $4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide SABC.

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(2.5,2.2)
\pspolygon(-2.1,-1.4)(2.3,0)(0,1.75)%BCS
\psline[linestyle=dashed](-2.1,-1.4)(0,0)(0,1.75)%BAS
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2.3,0)%AC
\psframe(0.25,0.25)\psline(0,0.22)(-0.2,0.11)(-0.2,-0.17)
\psline(-0.22,-0.18)(0.08,-0.18)(0.28,0)
\rput(-1.05,-0.7){$\backslash$}\rput(1.15,0){$\backslash$}
\uput[ur](0.2,0.2){A} \uput[l](-2.1,-1.4){B} \uput[r](2.3,0){C} \uput[u](0,1.75){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Rappel : le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule:

$V = \dfrac{\text{aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}.$
\end{minipage}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les triangles ASC, ASB et ABC en vraie grandeur.
		\item En déduire la construction du triangle BSC en vraie grandeur sans faire de calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip



Les trois parties du problème sont indépendantes.
Les figures ci-dessous ne sont pas en vraie grandeur. On sait que:

\medskip

\begin{itemize}
\item MATH est un carré de centre E et de $12$~cm de côté.
\item O est le milieu du segment [MH].
\item S appartient à [EO] et SO $= 4$~cm.
\item Les droites (EO) et (MH) sont perpendiculaires.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Faire la figure en vraie grandeur.
\item Montrer que le triangle MSH est isocèle en S.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de SM.
		\item Montrer que la valeur exacte du périmètre du triangle MSH est:
$12 + 2\sqrt{52}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-1.6,-0.4)(1.6,3.1)
\psframe(-1.45,0.3)(1.45,3.2)%MATH
\psline(-1.45,0.3)(1.45,3.2)(-1.45,3.2)(1.45,0.3)
\psline(-1.45,0.3)(0,1.2)(1.5,0.3)%MSH
\psline(0,-0.3)(0,3.3)%OE
\psframe(0,0.3)(0.2,0.5)
\rput(-0.725,0.3){$\backslash$}\rput(0.725,0.3){$\backslash$}
\uput[ul](-1.45,3.2){A} \uput[ur](1.45,3.2){T} \uput[dr](1.45,0.3){H} \uput[dl](-1.45,0.3){M}
\uput[dr](0,0.3){O} \uput[ur](0,1.1){S} \uput[r](0,1.75){E}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit N un point du segment [SO] ; on pose NO $= x$ (exprimé en centimètres).

On note $A_1$ l'aire du triangle HNO et $A_2$ l'aire du triangle MSN (exprimées en cm$^2$).

\medskip
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $A_1 = 3x$.
\item Exprimer SN en fonction de $x$.
\item Montrer que $A_2 = 3(4 - x)$.

(On pourra remarquer que [MO] est une hauteur du triangle MSN.)
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $A_1 = 3A_2$ ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-1.6,-0.4)(1.6,3.5)
\psframe(-1.45,0.3)(1.45,3.2)%MATH
\psline(-1.45,0.3)(1.45,3.2)(-1.45,3.2)(1.45,0.3)
\psline(-1.45,0.3)(0,1.2)(1.5,0.3)%MSH
\psline(1.5,0.3)(0,0.8)%HN
\psline(0,-0.3)(0,3.3)%OE
\psframe(0,0.3)(0.2,0.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1.45,0.3)(0,0.8)(0,1.2)%MNS
\rput(-0.725,0.3){$\backslash$}\rput(0.725,0.3){$\backslash$}
\uput[ul](-1.45,3.2){A} \uput[ur](1.45,3.2){T} \uput[dr](1.45,0.3){H} \uput[dl](-1.45,0.3){M}\uput[r](0,0.8){N}
\uput[dr](0,0.3){O} \uput[ur](0,1.1){S} \uput[r](0,1.75){E}\uput[l](0,0.55){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

F est un point quelconque du segment [TH].

Prouver que le point d'intersection I des segments [FM] et [EO] est le milieu du segment
[MF).
\end{document}