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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 2000}}
\rfoot{\small{Grèce}}
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\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grèce 15 juin 2000~\decofourright\\[7pt] }}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\emph{Pour chaque question, on indiquera les différentes étapes du calcul}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :

\[A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15} \times \dfrac{25}{14}.\]

\item  Écrire $B$ sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers
et $b$ aussi petit que possible :

\[B = \sqrt{175} + 3\sqrt{28} - \sqrt{112}.\]

\item Donner l'écriture décimale et l'écriture scientifique de $C$ :

\[C = \dfrac{4,9 \times 10^{-3} \times  1,2 \times  10^{13}}{ 14 \times  10^2 \times  3 \times  10^5}.\]

\item Quel est le PGCD de $96$ et de $156$ ?

Utiliser ce résultat pour rendre la fraction $\dfrac{96}{156}$ irréductible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère l'expression : $D = (2x + 3)^2 - 36$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = 0$ et pour $x = \dfrac32$.

En déduire une solution de l'équation $D = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Les températures moyennes enregistrées à Paris du 3 au 12 novembre 1999 sont exprimées en degrés Celsius :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Jours 			&3 			&4 			&5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline
Températures 	&$13\degres$ &$11\degres$ &$12\degres$ &$11\degres$& $10\degres$& $12\degres$& $12\degres$&$9\degres$&$8\degres$&$9\degres$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'étendue de cette série ? 
\item Quelle est sa médiane ?
\item Quelle est sa moyenne ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. On considère un triangle rectangle DEF tel que EF $= 10$, DF $= 8$ et DE $= 6$\medskip
.

Soit A le point du segment [DE] tel que DA $= 3,6$ et B le point du segment [DF] tel que 

DB $= 4,8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure.
\item Prouver que les droites (AB) et (EF) sont parallèles.
\item Calculer AB.
\item Calculer la mesure, arrondie au degré près, de l'angle $\widehat{\text{DAB}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On rappelle que, si l'aire de la base est $\mathcal{B}$ et la hauteur $h$, le volume d'un cône est $\dfrac13 \mathcal{B} \times h$, et que le volume d'une boule de rayon $r$ est $\dfrac43 \pi r^3$.

\medskip

\begin{minipage}{0.66\linewidth}
Un micro est constitué de trois parties accolées (voir figure ci-contre) : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]un manche qui est un cylindre de hauteur 8 cm et de diamètre 2 cm;
\item[$\bullet~~$]une tête qui est une demi-sphère de diamètre 6 cm;
\item[$\bullet~~$]une partie qui les relie, obtenue en coupant à $3$~cm de son sommet, par un plan parallèle à sa base, un cône de hauteur initiale 9~cm. La base a pour diamètre 6 cm. On admettra que la section est un cercle de diamètre 2 cm.
\end{itemize}

\textbf{N. B. :} Tous les volumes seront exprimés
en cm$^3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume exact $\mathcal{V}_1$ du cylindre et le volume exact $\mathcal{V}_2$ de la demi-sphère .
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume d'un cône de hauteur $9$~cm et dont la base a pour diamètre $6$~cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.3,10)
%\psgrid
\psarc(2.65,8.4){1.45}{0}{180}
\psellipticarc[linewidth=1.3pt,linestyle=dotted](2.65,8.4)(1.45,0.7){0}{180}
\psellipticarc(2.65,8.4)(1.45,0.7){180}{360}
\psellipticarc[linewidth=1.3pt,linestyle=dotted](2.65,5.2)(0.45,0.25){0}{180}
\psellipticarc(2.65,5.2)(0.45,0.25){180}{360}
\psellipticarc[linewidth=1.3pt,linestyle=dotted](2.65,1.4)(0.45,0.25){0}{180}
\psellipticarc(2.65,1.4)(0.45,0.25){180}{360}
\psline(2.2,1.4)(2.2,5.2)(1.2,8.4)
\psline(3.1,1.4)(3.1,5.2)(4.1,8.4)
\psline[linewidth=1.3pt,linestyle=dotted](2.2,5.2)(2.65,3.95)(3.1,5.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.8,9.82)(0.8,8.4)\uput[l](0.8,9.1){3 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.8,8.4)(0.8,5.2)\uput[l](0.8,6.8){6 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.8,5.2)(0.8,3.95)\uput[l](0.8,4.6){3 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.8,3.95)(0.8,1.4)\uput[l](0.8,2.7){5 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.2,1)(3.1,1)\uput[d](2.65,1){2 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,0.4)(4.1,0.4)\uput[d](2.65,.41){6 cm}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\hspace{1.3cm} \textbf{b.} Calculer le volume d'un cône de hauteur $3$~cm et dont la base a pour diamètre 2~cm.

\hspace{1.3cm} \textbf{c.} En déduire que le volume exact $\mathcal{V}_3$ de la troisième partie est $26\pi$~cm$^3$.

\textbf{3.} Déterminer le volume total du micro (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au mm$^3$ près).

\bigskip

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\bigskip

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J). 

L'unité graphique est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, placer les points A(4~;~4), B$(4~;~- 1)$ et C(2~;~3).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs AB, AC et BC 
et en déduire la nature du triangle ABC.
		\item Construire le point D tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{CA}} + \vect{\text{CB}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit E le point tel que le vecteur $\vect{\text{CE}}$ ait pour coordonnée (4~;~2).
	\begin{enumerate}
		\item Placer E.
		\item Prouver que E a pour coordonnées (6~;~5) et que A est le milieu du
segment [CE].
		\item Calculer la longueur CE.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point F, image de E par la rotation de centre C et d'angle $90\degres$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCF}}$.
		
Que peut-on en déduire pour les points B, C et F ?
		\item Prouver que CE = CB.
		\item En déduire que C est le milieu du segment [BF].
	\end{enumerate}
\item On considère l'image du triangle ABC par la symétrie de centre C
suivie de la symétrie de centre A.
	\begin{enumerate}
		\item Par quelle transformation passe-t-on du triangle ABC à son image ?
		\item Construire cette image.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}