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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1983}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les applications affines $f$ et g$,$ de $\R$ dans $\R$, définies par

\begin{center}$f(x) = \dfrac 32 x - 1$\qquad et \qquad $g(x) = -x + 4.$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire les représentations graphiques $D$ et D$'$ de $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \Oij{} (unité : 1 cm).
\item Résoudre graphiquement le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac 32 x - y - 1&\geqslant&0\\
y + x - 4&\geqslant &0\\
x&\leqslant&4.
\end{array}\right.\]

On teintera la région du plan correspondante sur le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application $P$, de $\R$ dans $\R$, définie par

\[P(x) =f(x) . g(x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $P(x)$.
		\item Calculer $P\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}\right)$.
		
On donnera le résultat sous la forme $a + b\sqrt 2$ où $a$ et $b$ sont des nombres rationnels.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$ puis dans $\D$, l'équation

\[P(x) = -4.\]

\item Déterminer à l'aide du graphique de la partie A le signe de $P(x)$ dans l'intervalle $[4~;~+\infty[$.
\end{enumerate}




\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère le plan muni du repère orthonormé \Oij{} (unité : 1 cm). 

On considère les points A, B et C dont les coordonnées sont :

\begin{center}A$(-2~;~3)$,\quad B(2~;~1)\quad  et \quad  C$(-2~;~-7)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer comment trouver sans calculs une équation de la droite (AC).
\item Calculer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}},\:
\vect{\text{BC}}$ dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$.
\item Montrer que le triangle (ABC) est rectangle.
\item On appelle E l'image de B dans la symétrie orthogonale par rapport à (AC). 

Quelle est la nature du triangle AEC ?
\item Démontrer que A, B, E, C appartiennent à un même cercle.
\end{enumerate}
\end{document}