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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small février 1960 (remplacement)}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen février 1960 ~\decofourright\\[7pt](remplacement)}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la proportion $\dfrac 3a = \dfrac78$ ; calculer $a$ et $b$,  sachant que $a + b = 30$.

Appliquer ceci au calcul de deux nombres dont on connait la somme 30 et le rapport $\dfrac37$.
\item Soit la proportion $\dfrac a7 = \dfrac b4$ ; calculer $a$ et $b$, sachant que $a - b = 18$.

Appliquer ceci au calcul de deux nombres
dont on connait la différence 18 et le rapport $\dfrac47$.
\item Soit la proportion $\dfrac ab = \dfrac cd$.

Montrer que l'on peut en déduire la proportion $\dfrac{ab}{cd} = \dfrac{(a + b)^2}{(c + d)^2}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B. -} Les trois questions sont indépendantes les unes des autres

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle de centre O et de diamètre [AB].

Soient un point P pris sur le prolongement de [OB], (PM) et (PN) les tangentes au cercle menées de P.

(OP) coupe (MN) en H. Soit I un point quelconque entre M et H.

On prend sur le prolongement de [OI], de O vers I, un point K tel que 
\begin{center}OI $\cdot$ OK = OH $\cdot$ OP.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (PK) est perpendiculaire à (OK).
\item Montrer que les cinq points O, M, K, P{}, N sont sur un même cercle.
\item Établir la similitude des triangles OIN et OKN.

En déduire la relation 
\begin{center}OI $\cdot$ OK = OM$^2$.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}