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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{juin 1952}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble juin  1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Soit l'équation 
\[y = m(x - 1) + 3.\]
$m$ étant un nombre supposé connu, à chaque valeur de m correspond une droite représentant la fonction 


\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites correspondant à $m= 0$, \:
$m = 1,\:m = 2$.
\item Constater qu'elles passent par le même point M, dont on déterminera algébriquement les coordonnées.
\item Vérifier que toutes les droites d'équation
\[y = m(x - 2) + 3.\]
passent par le point M.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On trace un cercle de centre O, de rayon $R$, et un diamètre [CD] de ce cercle.

Soient A et B les points d'intersection avec le cercle de la perpendiculaire au diamètre
[CD] élevé au milieu H du rayon [OD].

On joint C au milieu P de l'arc $\widearc{\text{CAD}}$ ; la droite (CP) rencontre la droite (AB) en M et la droite (BD) en I.

La droite (PD) coupe (AB) en Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les angles du triangle CBI.
\item Soit K le pied de la perpendiculaire menée de I à (AB).

Démontrer que les quatre points I, K, P{}, Q sont sur un même cercle.

En déduire la similitude des triangles IMQ et KMP.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.2)(3,4.4)
\pscircle(0,0){0.95}
\pspolygon(-0.95,0)(0.475,-0.8)(3.275,4.1)%CBI
\psline(3.275,4.1)(0.475,4.1)(0.475,-0.8)%IKB
\pspolygon(-0.95,0)(0.95,0)(0,0.95)%CDP
\psline(0,0.05)(0,-0.05)
\uput[ur](0.475,0.8){\footnotesize A} \uput[dr](0.475,-0.8){\footnotesize B} 
\uput[l](-0.95,0){\footnotesize C} \uput[dr](0.95,0){\footnotesize D}
\uput[dl](0.475,0){\footnotesize H} \uput[ur](3.275,4.1){\footnotesize I} 
\uput[l](0.475,4.1){\footnotesize K} \uput[l](0.475,1.45){\footnotesize M}
\uput[d](0,0){\footnotesize O} \uput[ul](0,0.95){\footnotesize P} \uput[dl](0.475,0.675){\footnotesize Q}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Calculer les longueurs BD, PM, MQ et MB
en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}