\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Grenoble juin 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{v}}
\rfoot{\small{juin 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble juin 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression

\[y =\dfrac{9x^3}{- 3x^2 - 2x}  + \dfrac{4}{3x +2}.\]
\item Si le résultat trouvé est de la forme $y = ax + b$, construire la droite $(D)$ ayant pour équation ce résultat, puis la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y_1 = \dfrac x3$,  enfin la
droite $\left(D_2\right)$ d'équation $y = 2$.

Que peut-on dire des deux premières ?
\item Donner les coordonnées du milieu, I, du segment [AB], A étant l'intersection de O$y$ et de $(D)$, B celle de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R$, on mène deux diamètres perpendiculaires, [AB] et [CD].

Une corde issue de A coupe le segment de droite [CD] en P et le cercle $\mathcal{C}$ en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$.

En déduire que le quadrilatère OBMP est inscriptible.

Préciser la position du centre I du cercle circonscrit à ce quadrilatère.
\item Démontrer que les triangles AOP et AMB sont semblables.

En déduire la valeur du produit AP $\times$ AM en fonction de $R$.
\item On suppose que le point P décrit le segment [CD] et l'on demande de déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item la plus grande valeur que peut prendre le segment [AP] (en fonction de $R$);
		\item la position et la longueur du segment de droite décrit par le centre I du cercle circonscrit au quadrilatère OBMP.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}