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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble juin 1959}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\textbf{I.}

\medskip

Écrire sous forme de produit les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
A(x) =(5x- 2)^2- 4(2- x)^2;\\
B(x) = (2x - 1)(x - 3) - (3 - x) (4x - 5).
\end{array}\]

\medskip

\textbf{II.}

\medskip

On donne un triangle ABC rectangle en A (AB $= 4$~cm ; AC $= 3$~cm).

Soit M un point du segment [BC]. On le projette en P sur [AB] et en Q sur [AC].

On pose AP $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$, le périmètre $y$ du
rectangle APMQ.
\item Représenter graphiquement les variations de $y$ quand M décrit le segment [BC].
\item Calculer graphiquement la valeur de $x$ pour que le périmètre du rectangle soit égal à $7$~cm ; puis à $12$~cm.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. -} Les questions 1. et 2. sont indépendantes.}
\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On considère un cercle de centre O et de rayon $R$.

Soient [AB] et [CD] deux diamètres perpendiculaires de ce cercle.

Une corde variable issue de C coupe le diamètre [AB] en un point M situé entre O et A et recoupe le cercle en un point N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles COM et CND sont semblables.
\item Montrer que le quadrilatère OMND est inscriptible.

En conclure que le produit CM $\times$ CN garde une valeur constante, qu'on demande de calculer.
\item On trace la perpendiculaire en M au diamètre [AB] ; elle coupe le rayon [ON] au point I.

Montrer que le triangle IMN est isocèle.

En conclure que le cercle de centre I et passant par M est tangent à la droite (AB) et au cercle donné.
\item Où faut-il choisir le point N pour que le cercle de centre I et passant par M soit aussi tangent à la droite (CD) ?

Évaluer dans ce cas le rayon $r$ de ce cercle en fonction de $R$.

Évaluer les angles du triangle ONC et en déduire, à 0,01 près, la tangente d'un angle de $25$ ~grades.
\end{enumerate}
\end{document}