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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble juin 1960\\[10pt]ENSEIGNEMENT LONG}}



\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un rectangle ABCD (AB $= 12$ cm et AD $= 9$ cm).

On prend sur le segment [AB] un point M tel que AM $= x$.

Par M, on mène les parallèles aux diagonales [AC] et [BD], qui coupent respectivement (BC) en N et (AD) en P{}.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AC.
\item Évaluer MN et MP en fonction de $x$ et déterminer $x$ pour que MN = MP.
\item Représenter sur un même graphique les fonctions $y_1 =$ MN et $y_2 =$ MP lorsque M se déplace de A en B.
\item Retrouver sur le graphique la valeur de $x$ pour laquelle MN = MP.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2 R$.

Un deuxième cercle, passant par A et ayant pour centre un point M situé sur le premier, le recoupe en I.

Soit C le point diamétralement opposé à A sur le cercle de centre M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les trois points C, I et B sont alignés.

Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Comparer les triangles OAM et CMI et montrer que AM est moyenne proportionnelle entre CI et OA.
\item Calculer, en fonction de $R$, la valeur qu'il faut donner à AM pour que CI soit la moitié de AM.

Dans ce cas particulier, évaluer BM et l'aire du triangle ABC en fonction de $R$.

\end{enumerate}
\end{document}