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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On désigne par $a$ et $b$ les réels définis par

\begin{center}$a = \sqrt{17 + 12\sqrt 2}$\quad  et \quad  $b = \sqrt{17 - 12\sqrt 2}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $ab = 1$.
\item On pose $u = a + b$ ; $v =a - b$.

Calculer $u^2$ et $v^2$.

En déduire $u$ et $v$.

Donner une écriture simple de $a$ et de $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points

\begin{center}A$(-1~;~-1)$,\qquad  B(0~;~2), \qquad  C(3~;~1).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point E tel que (A, B, E, C) soit un parallélogramme.
\item Soit D le symétrique de E par rapport à C. 

Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, C, D) ?
\item On désigne par I et J les centres de symétrie des quadrilatères (A, B, C, D) et 

(A, B, E, C).

Calculer les coordonnées des points I et J, puis déterminer une équation de la droite (IJ).
\item A$'$ et B$'$ sont les points du plan définis par

\begin{center}$\vect{\text{CA}'} = 3\vect{\text{CA}}$\quad et \quad $\vect{\text{CS}'} = 3\vect{\text{CS}}$.\end{center}

Déterminer les coordonnées de A$'$ et B$'$.

Montrer que les droites (A'B') et (IJ) sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{document}