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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Grenoble }
\lfoot{\small juin 1994}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire A et B sous forme d'une fraction qu'on ne peut pas simplifier.

\[A = 1 - \dfrac34 \times \dfrac29 ; \qquad B = \left(\dfrac13 \right)^2 - \dfrac16 : \dfrac13\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans cet exercice, l'unité de longueur est le mètre, et l'unité d'aire est le mètre carré.

On veut construire un parking carré ABCD sur le terrain rectangulaire AEHG (voir la figure ci-dessous que l'on ne demande pas de reproduire). Le parking doit avoir une aire de $600$~m$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la longueur AB est égale à $10\sqrt 6$.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item On sait que BE $= 7$ et DG $= 8$.

Calculer le périmètre du terrain AEHG.

Calculer l'aire du terrain AEHG.

On donnera chacun des deux résultats précédents sous la forme $a + b\sqrt 6$ où $a$ et $b$ sont des entiers.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.34\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.8)
\psframe(1,0.4)(3.7,3)
\psframe[fillstyle=hlines](1,1)(3,3)
\psframe(1,1)(1.2,1.2)\psframe(3,3)(2.8,2.8)
\psframe(1,3)(1.2,2.8)\psframe(3.,1)(2.8,1.2)
\psframe(3.7,3)(3.5,2.8)\psframe(3.7,0.4)(3.5,0.6)
\psframe(1,0.4)(1.2,0.6)
\uput[ul](1,3){A} \uput[ul](3,3){B} \uput[dr](3,1){C} \uput[ul](1,1){D}
\uput[ur](3.7,3){E} \uput[d](1,0.4){G} \uput[dr](3.7,0.4){H}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.4,0.4)(0.4,1)\uput[l](0.4,0.7){8 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.1,3.4)(3.7,3.4)\uput[u](3.4,3.4){7 m}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Donner les valeurs, arrondies à l'unité près du périmètre et de l'aire du terrain AEHG.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver les nombres $x$ et $y$ qui vérifient le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + y &=& 30\\
4x + 3y&=& 50
\end{array}\right.\]

\item À partir d'une gerbe de marguerites et de tulipes, un fleuriste a constitué ces 3 bouquets:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
1 tulipe et 3 marguerites coûtent 30~F&3 tulipes et 4 marguerites coûtent 50~F&Combien coûtent 2 tulipes et 2 marguerites ?
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.63\linewidth}
On considère un triangle  ACE pour lequel AC $= 13$
et AE~$=~11$.

B est le point de [] tel que AB $= 6$. D est le point de [AE] tel que AD $= 5$.

Les droites (BD) et (CE) sont-elles parallèles ?

Justifier la réponse.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.4,4.7)
\pspolygon(0.3,0.3)(2.9,0.3)(0.3,4.1)%ECA
\uput[dl](0.3,0.3){E} \uput[dr](2.9,0.3){C} \uput[u](0.3,4.1){A}
\psline(0.2,2.8)(0.4,2.8)\psline(1.1,2.8)(1.3,2.8)
\uput[l](0.3,2.8){D}\uput[r](1.2,2.8){B}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Le cercle $(\mathcal{C})$ a pour diamètre [AC] et pour centre B.

Le cercle $(\mathcal{C}')$ a pour diamètre [AB].

Une droite passant par A, coupe respectivement les 
cercles $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ en E et en D.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4.9,2)
%\psgrid
\pscircle(2.9,0){1.9}
\pscircle(1.95,0){0.95}
\psline(0,-2)(2,2)
\psline(1,0)(4.9,0)
\uput[l](1,0){A} \uput[dr](2.8,0){B} \uput[r](4.8,0){C} \uput[ul](1.4,0.8){D}
\uput[ul](1.7,1.5){E} \uput[dr](4.2,-1.6){$(\mathcal{C})$} \uput[dr](2.2,-0.95){$(\mathcal{C}')$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Pourquoi ADB et AEC sont-ils des triangles rectangles ?
\item Montrer que les droites (DB) et (EC) sont parallèles.
\item On suppose que AC $= 10$ et AE $= 5$.

Montrer que EC $= 5\sqrt 3$ et DB $= \dfrac{5\sqrt 3}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
Sur la figure ci-contre, on sait que :

\begin{itemize}
\item ACDG et ABCG sont des parallélogrammes ;
\item la droite (AF) est perpendiculaire à (GD) et coupe (BD) en E.

\item l'angle $\widehat{\text{DEF}}$ a  pour mesure $\alpha$.
\end{itemize}

 Dire, pour chacune des affirmations
suivantes, si elle est vraie ou fausse. 

Justifier la réponse \textbf{seulement} dans
les cas où l'affirmation est vraie.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(0,-2.5)(4.8,4.7)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,2.1)(2.7,2.1)(3.3,3.3)(0.9,3.3)%GDCA
\psline(3.3,3.3)(3.9,4.5)(0.9,3.3)%CBA
\psline(2.7,2.1)(0.9,-1.5)(0.9,3.3)%DEA
\psline(0.3,2.1)(3.3,3.3)%GC
\psline(2.7,2.1)(2.1,0.9)(1.5,-0.3)(0.9,-1.5)
\uput[ul](0.9,3.3){A} \uput[u](3.9,4.5){B} \uput[r](3.3,3.3){C} \uput[r](2.7,2.1){D} 
\uput[d](0.9,-1.5){E} \uput[dl](0.9,2.1){F} \uput[dl](0.3,2.1){G}
\psframe(0.9,2.1)(1.1,2.3)\psarc(0.9,-1.5){0.4}{65}{90}\rput(1,-1){$\alpha$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\no 1&A est le symétrique de E par rapport à (GD)\\ \hline
\no 2&G est L'image de D par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$\\ \hline
\no 3&D est le symétrique de B par rapport à C\\ \hline
\no 4&G est L'image de D par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$\\ \hline
\no 5&B est l'image de A par la rotation de centre E et
d'angle $\alpha$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le mètre.

Réglage des feux de croisement d'une automobile:

On envisage de régler rapidement, mais avec précision, les feux de croisement d'une automobile. Pour cela, on place le véhicule face à un mur vertical. Le phare est identifié à un point P, la distance entre le sol et le phare est HP{}. On considère que le phare émet un rayon lumineux dirigé vers le sol. En l'absence d'obstacle ce rayon atteindrait le sol au point M.

Il rencontre le mur en B.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.2,1.5)
%\psgrid
\psarc(0.2,0.6){0.2}{90}{270}
\psarc(0.4,0.8){0.2}{90}{180}
\psarc(0.82,0.8){0.2}{0}{90}
\psframe(0.22,0.4)(0.62,0.8)\psframe(0.62,0.4)(1.02,0.8)
\psarc(1.02,0.62){0.2}{270}{360}
\psline(0,0.2)(9.2,0.2)
\psarc(0.4,0.4){0.2}{180}{360}
\psarc(0.9,0.4){0.2}{180}{360}
\psline(1,0.8)(1.2,0.8)(1.2,0.6)
\psline(1.2,0.8)(1.2,0.2)
\psline(0.4,1)(0.8,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1.2,0.8)(9.2,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt](1.2,0.8)(4.5,0.55)
\uput[d](9,0.2){\footnotesize M}\uput[dl](4.5,0.2){\footnotesize A}\uput[ul](4.5,0.55){\footnotesize B}
\uput[u](1.2,0.8){\footnotesize P}\uput[d](1.2,0.2){\footnotesize H}
\psframe(4.5,0.2)(4.8,1.2)
\uput[ur](4.8,1.2){mur}
\end{pspicture}
\end{center}

La distance HM est appelée la portée du feu de croisement.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Consigne de Sécurité\\
On admet que cette portée doit, à la fois, être:

\begin{itemize}
\item d'au moins $30$ mètres, afin d'éclairer suffisamment loin ;
\item d'au plus $45$ mètres, pour ne pas éblouir les autres automobilistes.
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

PHM est un triangle rectangle en H. 

Pour l'ensemble du problème le phare est à une hauteur de 0,60 m et la voiture est à 3 m du mur (HP $= 0,6$ ; HA $= 3$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi on a : $\dfrac{\text{AB}}{\text{HP}} = \dfrac{\text{AM}}{\text{HM}}$.

En déduire que AB $\times$ HM = HP $\times$ AM.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si l'on remplit le coffre arrière de matériel, le rayon
lumineux atteint Le mur à 0,58 m du sol (AB $= 0,58$).

Quelle est la portée du feu de croisement ?

On remarquera que AM = HM $- 3$.

Risque-t-on alors d'éblouir les autres automobilistes ? 
		\item Calculer tan HPM.
		
En déduire la mesure de HPM, arrondie au dixième de degré
près.
	\end{enumerate}
\item On pose pour la suite du problème: AB $= x \:(0 \leqslant x < 0,6$) et on note $p$ la portée du feu de croisement (HM $= p$).

Montrer, en utilisant la question l, que $p = \dfrac{1,8}{0,6 - x}$.
\item Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe qui représente la portée du feu de croisement en fonction de la distance $x$ qui sépare le point B du sol 

(pour $0 \leqslant x \leqslant 0,582$) dans un
repère orthogonal.

Unités : sur l'axe des abscisses, 1 cm représente $0,04$ m. sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente $5$ m.
	\begin{enumerate}
		\item Placer en rouge sur la courbe le point qui correspond à la situation de la question 2a (on désignera ce point par la lettre E).
		\item Trouver, à l'aide du graphique, l'entier $p$ qui indique la
portée du feu de croisement lorsque la distance AB est $0,42$ m
($x = 0,42$).

Retrouver ce résultat par le calcul.

Le phare éclaire-t-il alors suffisamment loin ?
		\item On décide de régler un feu de croisement, de façon à respecter la \og consigne de sécurité \fg.

Quelles sont, d'après le graphique, les valeurs de AB que l'on
peut alors accepter ?

On donnera la réponse sous forme d'un encadrement, et on laissera apparents les traits de construction.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\psset{xunit=10cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0.7,110)
\multido{\n=0.00+0.02}{36}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0.0+0.1}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0.0+2.5}{45}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(0.7,\n)}
\multido{\n=0.+10}{12}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(0.7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(0.7,110)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.5836}{1.8 0.6 x sub div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}