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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{septembre 1955}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble septembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Deux amis habitent, l'un Grenoble, l'autre Valence ; ces deux villes sont distantes de $95$km.

Ils décident de se rendre à bicyclette, le même jour à Saint-Marcellin, situé sur la route de Grenoble à Valence à $43$~km de cette dernière ville.

Le premier quitte Grenoble à $7$~heures et roule à la vitesse de $22$~km à l'heure ; le second quitte Valence à $7$ heures $10$ßminutes et roule à la vitesse de $18$km à l'heure.

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quel est celui des deux amis qui arrivera le premier au rendez-vous et combien de temps avant l'autre ?
\item À quelle heure chacun d'eux rencontrera-t-il un automobiliste qui part de Grenoble à $8$ heures et arrive à $9$ heures à Romans, situé sur la même route à $18$~km de Valence ?

Résoudre ces deux questions par le calcul et contrôler par un graphique les résultats obtenus.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$, de diamètre [AB], de centre O et de rayon $R$, et sa tangente $x'x$ en B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une sécante variable tourne autour du point A.

Elle recoupe le cercle $\mathcal{C}$ en C et soit D son intersection
avec $x'x$.

Démontrer que AC $\cdot$ AD est constant et égal à $4R^2$.
\item La perpendiculaire en D à $x'x$ coupe le prolongement de [OC] en I.

Montrer que I est le centre d'un cercle tangent au cercle donné $\mathcal{C}$ et à la droite $x'x$. 
Soit $\mathcal{C}'$ ce cercle
\item T et T$'$ sont les points de contact des tangente menées de A au cercle $\mathcal{C}'$.

Montrer que (AT) et (AT$'$) conservent une longueur constante.

Sur quelle courbe se déplacent les points T et T$'$ ?
\end{enumerate}
\end{document}