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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour les questions 1 et 2 ci-dessous, on précisera les différentes
étapes des calculs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $A, B$ et $C$ sous la forme $a +b\sqrt 3$ où $a$ et $b$ sont des entiers.

$A = \left(\sqrt 3 - 4\right)^2$ ;

$B = \left(\sqrt 3 - 1\right)\left(3 - 2\sqrt 3\right)$ ;

$C = 2\sqrt{75} - 3\sqrt{48}- \sqrt 3 + 7$.

\item Écrire $D$ sous forme d'une fraction irréductible: 

\[D = \dfrac37 - \dfrac27 \times \dfrac14\]

\item Montrer que $E$ est un nombre entier 

$E = \dfrac{12 \times  10^8 - 3 \times 10^7}{24 \times 10^4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver les nombres $x$ et $y$ qui vérifient le système : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + \phantom{2}y 	&=& 12\\
x + 2y 	&=& 15
\end{array}\right.\]

\item Un fermier, à qui on demande combien il a vendu de poulets et de lapins, répond:

\og 12 têtes et 30 pattes.\fg

Déterminer le nombre de poulets et de lapins vendus.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Travaux géométriques}

\medskip

Les deux exercices sont indépendants.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCD est un losange.

On sait que : AB $= 3$~cm et $\widehat{\text{BAD}} = 50\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Calculer, en donnant toutes les justifications nécessaires, les longueurs AC et BD (on donnera les valeurs décimales approchées, arrondies au millimètre près).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item En prenant comme unité le centimètre. Faire une figure où l'on placera les points : A(3~;~2) B$(- 5~;~4)$.

Calculer les coordonnées du point M milieu de [AB].
\item Montrer que la droite (AB) a pour équation: $y = - \dfrac14 x + \dfrac{11}{4}$ 
\item Tracer la droite $(\mathcal{D})$ qui a pour équation $y = 4x + 7$.

Montrer que M est un point de $(\mathcal{D})$.
\item Montrer que $(\mathcal{D})$ est la médiatrice de [AB].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Problème}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

On désire réaliser un meuble qui sera posé dans l'angle d'une pièce.

Il aura la forme de la pyramide OABC représentée ci-dessous.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O, et l'on a :

OA $= 150$, \quad  OB $= 80$, \quad OC $= 60$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer BC.
		\item Calculer le volume $V$ de la pyramide OABC (en cm$^3$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(6,16)
%\psgrid
\pspolygon(6;-30)(15;90)(8;210)
\psline(6;-30)\psline(15;90)\psline(8;210)
\uput[u](3;-30){\footnotesize 60}\uput[r](7.5;90){\footnotesize 150}\uput[ul](4;210){\footnotesize 80}
\uput[ul](15;90){\footnotesize A}\uput[ul](8;210){\footnotesize B}\uput[ur](6;-30){\footnotesize C}
\uput[r](0,0){\footnotesize O}
\psline(0,0.5)(0.5,0.3)(0.5,-0.2)
\psline(0,0.5)(-0.5,0.3)(-0.5,-0.2)
\psline(-0.5,-0.2)(0,-0.5)(0.5,-0.2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
Le meuble doit avoir deux étagères horizontales DEF et GHI. 

Pour les supporter, on fixera, le long des segments [OH], [HI], [DE], [EF],
des morceaux de baguette de bois.
(Voir figure ci-contre).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(6,16)
%\psgrid
\pspolygon(6;-30)(15;90)(8;210)
\psline(6;-30)\psline(15;90)\psline(8;210)
%\uput[u](3;-30){\footnotesize 60}\uput[r](7.5;90){\footnotesize 150}\uput[ul](4;210){\footnotesize 80}
\uput[ul](15;90){\footnotesize A}\uput[ul](8;210){\footnotesize B}\uput[ur](6;-30){\footnotesize C}
\uput[r](0,0){\footnotesize O}
\pspolygon[linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=white](-5,1.7)(3.6,2.5)(0,4.7)%DFE
\pspolygon[linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=white](-3,6.5)(2.38,7)(0,8.6)%GIH
\uput[l](-5,1.7){\footnotesize D} \uput[r](3.6,2.5){\footnotesize F} \uput[ur](0,4.7){\footnotesize E}
\uput[l](-3,6.5){\footnotesize G} \uput[r](2.38,7){\footnotesize I} \uput[ur](0,8.6){\footnotesize H}
\psline(0,0.5)(0.5,0.3)(0.5,-0.2)
\psline(0,0.5)(-0.5,0.3)(-0.5,-0.2)
\psline(-0.5,-0.2)(0,-0.5)(0.5,-0.2)

\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}[resume,start=2]
\item Pour des raisons pratiques, on décide de choisir OE $= 60$.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter à l'échelle $1/20$ le triangle OAB. Placer les points E et D.
		\item Montrer que DE $= 48$.
		\item Montrer que EF $= 36$.
	\end{enumerate}
\item On pose AH $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer OH et HI en fonction de $x$.
		\item Montrer que la longueur totale des 4 morceaux de baguette peut s'écrire :
		
$\dfrac{14}{15}x + 84$.
		\item On dispose d'une baguette de longueur totale $140$ cm dans laquelle on va découper les 4 morceaux.
		
Déterminer quelle doit être la distance AH afin d'utiliser la totalité de la baguette.
\item On suppose AH $= 60$.

Pour réaliser les étagères, on achète un panneau de bois rectangulaire de dimensions $48 $ sur $36$.

On veut fabriquer les étagères en coupant seulement 2 fois le panneau.

Présenter, à l'aide d'une figure à l'échelle $\dfrac18$ une manière d'y parvenir.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}