\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small juin 1997} \lfoot{\small Grenoble} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Grenoble juin 1997 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer et donner le résultat sous la forme d'un entier relatif ou d'une fraction irréductible : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{X X} $A = \left(2 + 3\sqrt{5}\right)\left(2 - 3\sqrt{5}\right)$& $B = \dfrac{3\sqrt{45}}{6\sqrt{20}}$\\ $C = \dfrac58 - \dfrac38 \times \dfrac16$&$D = \dfrac{2 \times 10^{-3} \times 5}{10^{-5}}$ \end{tabularx} \end{center} \item Soit $E = \sqrt{75} - 2\sqrt{12} + 2\sqrt{27}$. Écrire le nombre $E$ sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Soit $E = 4x^2 - 12x + 9$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $E$ pour $x = - \dfrac43$. \item \begin{enumerate} \item Factoriser $E$. \item En utilisant le résultat de la question précédente, résoudre l'équation $E = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Au Café de la Place, Pierre et ses amis ont commandé trois cafés et deux chocolats pour la somme de 42 F{}. Paul et ses camarades ont payé, eux, 56 F pour deux cafés et quatre chocolats. En écrivant, puis en résolvant un système de deux équations à deux inconnues, trouver le prix d'un café et le prix d'un chocolat. \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{minipage}{0.56\linewidth} L'unité de longueur est le centimètre ; l’unité d’aire est le centimètre carré. On considère la figure ci-contre : $\bullet~~$le triangle ABC est rectangle en A ; $\bullet~~$AB $= 3,6$ ; $\bullet~~$BC $= 6$. \end{minipage} \begin{minipage}{0.4\linewidth} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(4,3) %\psgrid \rput{15}(1,0.2){\pspolygon(0,0)(3,0)(0,2)\psframe(0.2,0.2)}%ACB \uput[dl](1,0.2){A} \uput[r](3.9,1){C}\uput[u](0.5,2.1){B} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ (on donnera l'arrondi au degré). \item Calculer AC. \item Calculer l'aire du triangle ABC. \item Soit H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC). Exprimer l'aire du triangle ABC en fonction de AH. \item En déduire AH. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Une personne observe une éclipse de soleil. Cette situation est schématisée par le dessin ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(6,1.8) %\psgrid %\psarc(2.9,0.2){2.7}{0}{180} %\psarc(4.8,0.2){0.8}{0}{180} \psline(0.2,0.2)(0.72,1.8)(5.6,0.2) \rput{-107}(0.72,1.8){\psframe(0.2,0.2)} \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(5.6,0.2) \psline(4,0.2)(4.16,0.68) \rput{-107}(4.16,0.68){\psframe(0.2,0.2)} \uput[l](0.2,0.2){S} \uput[u](0.72,1.8){O} \uput[d](4,0.2){L} \uput[ur](4.16,0.68){U} \uput[r](5.6,0.2){T} \end{pspicture} \end{center} L’observateur est en T. Les points S (centre du Soleil), L (centre de la Lune) et T sont alignés. Le rayon SO du Soleil mesure \np{695000} km. Le rayon LU de la Lune mesure \np{1736} km. La distance TS est $150$ millions de km. Calculer la distance TL (on donnera l'arrondi au km). \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes} \bigskip \textbf{Première partie} \medskip Un agriculteur cultive du blé, puis fabrique lui-même sa farine. Il décide, pour améliorer ses revenus, de faire une fois par semaine, dans son village, du pain artisanal qu'il vend $23$ F le kilogramme. Chaque mois, ses dépenses sont constituées par \np{2600}~F de frais fixes, auxquels il faut ajouter $3$~F par kilogramme de pain fabriqué. \medskip \textbf{A.} Au mois de juin, il vend $200$ kg de pain. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est sa recette ? \item Quelle est sa dépense ? \end{enumerate} \item Fait-il un bénéfice ? Si oui, de quel montant ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{B.} On appelle $x$ la masse de pain en kilogrammes vendue en un mois. On note $r(x)$ le montant des recettes de l'agriculteur et $d(x)$ celui de ses dépenses au cours de ce mois. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $r(x)$ et $d(x)$ en fonction de $x$. \item Résoudre l'inéquation $r(x) > d(x)$. Comment l'agriculteur peut-il interpréter le résultat obtenu ? \item Calculer la masse de pain que l'agriculteur doit vendre en un mois pour faire un bénéfice de \np{2000}~F. \item Le plan est rapporté à un repère orthogonal. Les unités sont : $\bullet~~$en abscisse : 1 cm pour $20$ kg; $\bullet~~$en ordonnée : 1 cm pour $400$ F. \begin{enumerate} \item On note $D_1$ la droite d'équation $y = 23x$ et $D_2$ la droite d'équation $y = 3x + \np{2600}$. Construire les droites $D_1$ et $D_2$. \item Retrouver graphiquement les résultats de la question B. 2. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Notre apprenti boulanger fait son pain \og à la main\fg{} dans un pétrin à l'ancienne. Il s'agit d'une table \og creuse sur le dessus \fg{} qui a la forme d'un tronc de pyramide à base rectangulaire dont les dimensions intérieures sont : \begin{center}OK $= 0,40$ m ;\quad AB $= 0,90$ m ;\quad BC $= 1,50$ m. \end{center} \begin{minipage}{0.45\linewidth} La figure ci-contre représente le pétrin (les pieds de la table et l'épaisseur du bois, qui ne sont pas représentés sur le dessin, n'interviennent pas dans l'exercice). Par ailleurs, on donne OS $= 2$ m. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le volume $V_1$ de la \og grande \fg{} pyramide SABCD. \item La \og petite \fg{} pyramide SEFGH est une réduction de la \og grande \fg{} pyramide SABCD. On admet que le coefficient de réduction est $0,8$. \begin{enumerate} \item Calculer le volume $V_2$ de la \og petite\fg{} pyramide SEFGH. \item En déduire le volume $V_3$ du pétrin. \end{enumerate} \item Le remplissage maximum du pétrin est 85\,\% de son volume. Quelle quantité maximum de pâte peut-on faire en une fois ? \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.53\linewidth} \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-5.4,-11)(5.4,1.5) %\psgrid \pspolygon(-4.8,-1)(1.4,-1)(4.8,1.)(-1.4,1.)%ADCB \psline[linestyle=dashed](-3.5,-3.2)(0,-9.3)(-1.4,1.)%ESB \psline[linestyle=dashed](1,-3.2)(0,-9.3)(3.5,-1.8)%HSG \psline(-3.5,-3.2)(1,-3.2)(3.5,-1.8)%EHG \psline(-4.8,-1)(-3.5,-3.2) \psline(1.4,-1)(1,-3.2) \psline(4.8,1)(3.5,-1.8) \psline[linestyle=dashed](-3.5,-3.2)(-1,-1.8)(3.5,-1.8)%EFG \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-2.5)%OS \uput[l](-4.8,-1){A} \uput[ul](-1.4,1){B} \uput[ur](4.8,1){C} \uput[dr](1.4,-1){D} \uput[dl](-3.5,-3.2){E} \uput[l](-1,-1.7){F} \uput[r](3.5,-1.8){G} \uput[dr](1,-3.2){H} \uput[u](0,0){O} \uput[r](0,-2.5){K} \uput[d](0,-9.3){S} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,0)(0,-2.5) \end{pspicture} \end{center} \end{minipage} \end{document}