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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small septembre 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Grenoble septembre 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions suivantes pour les rendre irréductibles 

\[\dfrac{7^2}{7^4} \qquad \dfrac{10^3 - 1}{222}\qquad \dfrac{15 + 9}{15 \times 4}.\]

\item  On donne : $A = 5\sqrt{27} - \sqrt{48}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $A$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
		\item Montrer que $A^2$ est un nombre entier.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne : $B = (3x - 1)^2- 9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $B$.
\item Factoriser $B$.
\item Calculer $B$ pour $x = 0$, puis pour $x = \dfrac13$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

En 1990, on a relevé le nombre d'enfants de moins de 25 ans, dans les familles d'une ville de la région Rhône-Alpes.

On a pu dresser le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'enfants	& 0		& 1 	&2 	&3 		&4 	&5\\ \hline
Nombre de familles	& 280 	&325 	&330&115 	&40 &10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre moyen d'enfants dans ces familles.
\item Calculer le pourcentage de familles ayant moins de 3 enfants.
\item Construire un diagramme en bâtons pour représenter cette série statistique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un groupe de $16$ personnes décide de déjeuner au self d'une entreprise. 

Deux menus sont proposés :

\begin{description}
\item[ ] Menu 1 : Repas ordinaire avec plat du jour, à $40$ F.
\item[ ] Menu 2 : \og Sélection du chef \fg, à $55$ F.
\end{description}

Chaque personne choisit un des deux menus.

La dépense globale est $745$~F.

Calculer le nombre de personnes ayant pris le menu 1 et le nombre de personnes ayant pris le menu 2.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

On considère un cercle de diamètre [AB] et de centre O tel que AB $= 6$. Soit un point C appartenant au cercle tel que BC $= 3,6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
\item Démontrer que AC $= 4,8$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de la tangente de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
		\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ (on donnera le résultat arrondi au degré).
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOC}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point E appartenant au segment [AB], tel que AE $= 2$.
		\item Construire le point F appartenant au segment [AC], tel que FC $= 3,2$.
		\item Démontrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{Le plan est rapporté à un repère orthonormé} (O, I, J). \emph{L'unité de longueur est le centimètre}

\medskip

On considère les points A(4~;~6), B$(- 2~;~4)$, C$(- 1~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C sur une figure.
\item Calculer :
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$.
		\item Les coordonnées du milieu M du segment [AC].
		\item La valeur exacte de la longueur du segment [AC].
	\end{enumerate}
\item On admet que BA $= \sqrt{40}$ et BC $= \sqrt{10}$.

Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
flO.	
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point P, symétrique du point A par rapport au point B, et le point S, symétrique du point P par rapport au point C.
		\item Construire la figure F$_1$ symétrique du triangle ABC par rapport au point B.
		\item Construire la figure F$_2$ symétrique de la figure F$_1$ par rapport au point C.
		\item Par quelle transformation peut-on passer du triangle ABC à la figure F$_2$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Trois enfants jouent sur une plage et s'amusent à mettre du sable dans
trois récipients.

Martin joue avec le récipient M qui a la forme d'un parallélépipède
rectangle de masse $200$ grammes.

Paul et Simon jouent respectivement avec le récipient P (de forme cylindrique) et le récipient S (de forme conique).

Les deux récipients P et S ont une masse négligeable.

%%%%%%%%%
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(14,6)
\psframe(0,0.3)(2,3.9)%ADHE
\psline(2,0.3)(2.5,1.3)(2.5,4.9)(2,3.9)%DCGH
\psline(2.5,4.9)(0.5,4.9)(0,3.9)%GFE
\psline[linestyle=dashed](0,0.3)(0.5,1.3)(2.5,1.3)%ABC
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.3)(0.5,4.9)%BF
\uput[d](0,0.3){A} \uput[l](0.5,1.3){B} \uput[r](2.5,1.3){C} \uput[d](2,0.3){D}
\uput[l](0,3.9){E} \uput[ul](0.5,4.9){F} \uput[ur](2.5,4.9){G} \uput[r](2,3.9){H}
%%%%%
\psellipse(6.4,4.4)(1.2,0.6)
\psellipticarc(6.4,0.9)(1.2,0.6){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](6.4,0.9)(1.2,0.6){0}{180}
\psline(5.2,0.83)(5.2,4.4)\psline(7.6,0.83)(7.6,4.4)
\uput[u](6.4,4.4){O} \uput[d](6.4,0.9){O$'$} \uput[d](7.6,0.83){I}
\psline[linestyle=dashed](6.4,4.4)(6.4,0.9)(7.6,0.83)
%%%%%%
\psellipse(11.8,4.7)(1.75,0.6)
\psline(10.05,4.7)(11.8,0.3)(13.55,4.7)
\psline[linestyle=dashed](13.5,4.7)(11.8,4.7)(11.8,0.3)
\rput(1.5,5.5){Récipient M}\rput(6.6,5.5){Récipient P}\rput(11.8,5.5){Récipient S}
\uput[l](11.8,4.7){V} \uput[d](11.8,0.3){T} \uput[r](13.5,4.7){R}
\end{pspicture}
\end{center}


L'unité de longueur est le centimètre. L'unité de volume est le centimètre cube.

On donne :

AD = 10 \quad OI = 6 \quad  VR = 9 \quad DC =  10 \quad OO$' = 18$ \quad VT = 21 \quad AE = 18

L'unité de masse est le gramme.

La masse volumique du sable est $1,5$ g.cm$^{-3}$, ce qui signifie qu'un cm$^3$ de sable a une masse de 1,5 g.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Martin et Paul mettent du sable dans leur récipient jusqu'à une hauteur de $15$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume du sable dans le récipient M.
		\item Calculer la masse du sable dans ce récipient.
		\item En déduire la masse totale de ce récipient.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume du sable dans le récipient P (on arrondira le résultat à 1 cm$^3$ près).
		\item Calculer la masse totale de ce récipient.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Maintenant, Martin et Paul font varier la hauteur $x$ du sable dans leur récipient.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume du sable dans le récipient M.
		\item On note $y_{\text{M}}$ la masse totale du récipient M.
Montrer que $y_{\text{M}} = 150x + 200$.
		\item On vient ainsi d'exprimer $y_{\text{M}}$ en fonction de $x$.
		
A-t-on ainsi défini une fonction linéaire ?

A-t-on ainsi défini une fonction affine ?

Représenter graphiquement cette fonction sur une feuille de papier millimétré (on prendra l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille ; on choisira 1~cm pour 1 unité en abscisse et 1~cm pour $100$ unités en ordonnée) .
	\end{enumerate}
\item On note $y_{\text{P}}$ la masse totale du récipient P.

On admet que $y_{\text{P}} = 170x$. On a ainsi défini une fonction linéaire. 

Représenter graphiquement cette fonction sur la feuille de papier millimétré.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Trouver graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle les deux récipients ont la même masse totale (faire apparaître le tracé ayant permis de répondre).
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du récipient S de Simon (on arrondira le résultat à 1 cm$^3$ près).
\item Simon met du sable dans son récipient jusqu'à une hauteur de $14$~cm. Le sable occupe alors un cône S$_1$ de hauteur  KT $= 14$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le rapport $\dfrac{\text{TK}}{\text{TV}}$.
		\item En admettant que le cône S$_1$ est une réduction du cône S, calculer le volume de S$_1$ (on donnera le résultat arrondi à 1 cm$^3$ près).
		\item Calculer la masse du sable dans le récipient S.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.30\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,0)(14,6)
%\psgrid
\psellipse(11.8,4.7)(1.75,0.6)
\psline(10.05,4.7)(11.8,0.3)(13.55,4.7)

%\rput(1.5,5.5){Récipient M}\rput(6.6,5.5){Récipient P}\rput(11.8,5.5){Récipient S}
\uput[l](11.8,4.7){V} \uput[d](11.8,0.3){T} \uput[r](13.5,4.7){R}

\psellipticarc[linestyle=dashed](11.8,3)(1.1,0.4){0}{180}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psline(10.05,4.7)(11.8,0.3)(13.55,4.7)
\psellipticarc[linestyle=dashed](11.8,3)(1.1,0.4){0}{180}
}
\psellipticarc(11.8,3)(1.1,0.4){180}{360}
\psline[linestyle=dashed](13.5,4.7)(11.8,4.7)(11.8,0.3)
\psdots(11.8,3)
\uput[r](11.8,3){K}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{document}