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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Guyane juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad&\dfrac x4 - \dfrac y5&=&1,\\
(2)\qquad&x + 2y&=& 18.
\end{array}\right.\]

\item Les valeurs trouvées pour $x$ et $y$ représentent respectivement, en mètres, la longueur AB et la largeur BC d'un rectangle ABCD.

Soient P le point de AB tel que AP $= 3$~mètres et Q le point mobile de [DC], situé entre D et C et tel que DQ $= z$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de  les aires des trapèzes APQD et PBCQ, que l'on désignera par $s_1$ et $s_2$.
		\item Montrer que le rapport $\dfrac{s_1}{s_2} = k$ est égal à $\dfrac{z + 3}{13 - z}$.
		\item Calculer $z$ de telle sorte que

\[k = 1,\quad k = \dfrac14, \quad k = \dfrac15, \quad  k = 3.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$, de diamètre [AB].

À l'intérieur de ce demi-cercle $\mathcal{C}$, on trace un autre demi-cercle $\mathcal{C}'$ de centre O$'$, milieu de [AO], et de diamètre [AO].

Une corde mobile, issue de A, coupe le demi-cercle $\mathcal{C}'$ en C$'$et le demi-cercle $\mathcal{C}$ en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles AOC et AO$'$C$'$ sont semblables et que leur rapport de similitude est constant.
\item Démontrer que (OC$'$ ) est médiane du triangle AOC et que les tangentes en C$'$ au demi-cercle $\mathcal{C}'$ et en C au demi-cercle $\mathcal{C}$ sont parallèles.
\item Sur quelle droite fixe se déplace le centre du cercle circonscrit au triangle AO$'$C$'$ ?
\item On mène la tangente (BT) au demi-cercle $\mathcal{C}'$.

Calculer BT et les aires des triangles BTO$'$ et AO$'$T.
\end{enumerate}
\end{document}