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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Indochine (Haiphong) juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Un voyageur qui se déplace en automobile se rend d'une ville A à une ville B, puis retourne à la ville A.

La vitesse à l'aller est $64$~km à l'heure ; en revenant
il roule à la vitesse de $80$ km à l'heure.

Le voyage aller et retour dure $6$~h~$30$~min, compte
tenu d'un arrêt de 2 heures dans la ville B.

Quelle est la distance des deux villes ?

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

On prolonge [AB], au delà de B, d'une longueur BP = AB et l'on mène par A la demi-droite A$x$ tel que $\widehat{\text{BA}x}= 60\degres$.

Cette demi-droite coupe le cercle $\mathcal{C}$ en un point M.

On projette orthogonalement M en F sur (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer, en fonction de $R$, la longueur des segments [AF]  et [MF].
\item La droite (MP) recoupant le cercle $\mathcal{C}$ en N, on demande de calculer les longueurs des segments [PM] et [PN] en fonction de $R$.
\item Évaluer, en fonction de $R$ également, la longueur de la corde [MN] et sa distance au centre O du cercle.
\end{enumerate}
\end{document}