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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Istanbul}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Istanbul juin 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soient les points A$(-2~;~1)$, B$(2~;~3)$ et C$(3~;~- 4)$ par rapport aux axes perpendiculaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver l'équation (1) de la droite $(\Delta)$ passant par A et B.
\item Trouver l'équation (2) de la droite $\left(D_m\right)$ passant par C et ayant pour pente $m$.

Quelle doit être la valeur de $m$ pour que :
	\begin{enumerate}
		\item $\left(D_m\right)$ soit parallèle à $(\Delta)$ ;
		\item $\left(D_m\right)$ passe par A (ou par B);
		\item $\left(D_m\right)$ soit perpendiculaire à 6 ?
		
Dans ce dernier cas, trouver les coordonnées du point H de rencontre de $\left(D_m\right)$ avec $(\Delta)$.

En déduire que le triangle ABC est isocèle.
	\end{enumerate}
\item Les équations (1) et (2) forment un système à deux inconnues $x$ et $y$, dépendant du paramètre $m$.

Trouver les solutions de ce système quand :
	\begin{enumerate}
		\item on donne à $m$ la valeur $- 7$ ;
		\item on donne à $m$ la valeur $\sqrt 3$.
		
Dans ce dernier cas, donner d'abord les solutions exactes, puis les valeurs approchées de $x$ et $y$ à 0,01 près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soit un demi-cercle $(\mathcal{C})$ limité au points A, B et de centre O.

On a OA = OB $= 27$~mm.

Sur le prolongement du diamètre [AB], on prend le point D tel que BD = 18~mm.

On mène de D la tangente (DT) (T point de contact) au demi-cercle $(\mathcal{C})$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur DT et la distance TH de T à (AB).
\item Démontrer que les triangles DAT et DTB sont semblables.

En déduire la valeur du rapport $\dfrac{\text{TA}}{\text{TB}}$.
\item Calculer les longueurs TA et TB.
\item Dans le triangle TOD, la bissectrice intérieure l'angle $\widehat{\text{O}}$ rencontre (TB) en K et (TD) en L.

Montrer que (OK) est perpendiculaire à (TB) ; calculer OK et OI.
\end{enumerate}
\end{document}