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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small La Réunion}
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\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Brevet La Réunion juin 2000~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer :  $A = \dfrac{8}{12} + \dfrac16 + \dfrac25$.

On écrira les étapes du calcul et on donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
\item Calculer : $B = \left(5- \sqrt 3\right)\left(5 + \sqrt3\right)$.
\item Calculer : $C = 4\sqrt5 - 3 \sqrt{45} + \sqrt{500}$ (on donnera le résultat sous la forme $a\sqrt b$, avec $b$ entier positif le plus petit possible).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $D = (3x + 1)^2 - 36$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item  Calculer $D$ pour $x =- \dfrac13$.
\item  Résoudre l'équation: $(3x + 7)(3x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans chacun des trois cas de figure ci-après et en utilisant les informationsdonnées, calculer, en justifiant, la valeur exacte de la longueur demandée.

\emph{Attention, certaines informations peuvent être inutiles et les dimensions ne
sont pas respectées sur les figures.}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\textbf{1.~} OG = 5 cm

BG = 8 cm

Calculer BC.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2.6,-0.6)(2.6,2.9)
%\psgrid
\pspolygon(2.4;15)(2.4;60)(2.4;195)
\psline(0.9,0.35)(1.05,0.16)\psline(-1.1,-0.2)(-0.9,-0.38)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=0,dotscale=1.8](0,0)
\rput{-144}(2.4;60){\psframe(0.25,0.25)}
\uput[d](0,0){O} \uput[d](2.4;15){C} \uput[d](2.4;195){G} \uput[u](2.4;60){B}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\textbf{2.~} HG = 4 cm 

$\widehat{\text{EFH}} = 40\degres$

$\widehat{\text{GEH}}= 30\degres$

Calculer EG.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(5.2,2.8)
\pspolygon(0.3,0.3)(4.9,0.3)(3.2,2.3)%FGE
\psline(3.2,0.3)(3.2,2.3)%HE
\psframe(3.2,0.3)(3.45,0.55)
\uput[u](3.2,2.3){E} \uput[dl](0.3,0.3){F} \uput[dr](4.9,0.3){G} \uput[d](3.2,0.3){H} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\textbf{3.~} RP = 4 cm

QR = 2,4 cm 

PV = 2 cm

PS = 4,5 cm 

(QR) // (UV) 

(UV) // (ST)

Calculer ST.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(5.5,3.8)
\psline(0,0.3)(5.2,0.3)
\psline(1,1.4)(4,1.4)
\psline(0,3.5)(5.2,3.5)
\psline(0,0.1)(4.9,3.7)
\psline(1,3.7)(5,0.1)
\uput[u](2.8,2.1){P} \uput[dl](1.2,3.5){Q} \uput[dr](4.6,3.5){R} \uput[dr](0.3,0.3){S}
\uput[dl](4.8,0.3){T} \uput[ul](1.8,1.4){U} \uput[ur](3.55,1.4){V}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
SABC est une pyramide de sommet S.

La base ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que AC $= 3$~cm.

La hauteur [SA] mesure $4$~cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2.3,-1.4)(2.7,2)
\pspolygon(-2,-1.2)(2.4,0)(0,1.7)%BCS
\psline[linestyle=dashed](-2,-1.2)(0,0)(0,1.7)%BAS
\psline[linestyle=dashed](2.4,0)
\psframe(0.25,0.25)\psline(0,0.25)(-0.21,0.14)(-0.21,-0.15)\psline(-0.21,-0.15)(0.05,-0.15)(0.25,0)
\uput[u](0,1.7){S}\uput[dr](-2,-1.2){B}\uput[dr](2.4,0){C}\uput[dr](0,0){A}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la stpyramide SABC.

\emph{Rappel} : Le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule:

\[V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur}}{ 3}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les triangles ASC, ASB et ABC en vraie grandeur.
		\item En déduire la construction du triangle BSC en vraie grandeur sans faire de calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME\hfill 12 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\emph{Les figures ci-après ne sont pas en vraie grandeur.}

On sait que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] MATH est un carré de centre E et de $12$~cm de côté;
\item[$\bullet~$] O est le milieu du segment [MH] ;
\item[$\bullet~$] S appartient à [EO] et SO $= 4$~cm ;
\item[$\bullet~$] les droites (EO) et (MH) sont perpendiculaires.
\end{itemize}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2.1,-2.4)(2.1,2.4)
\psframe(-1.9,-1.9)(1.9,1.9)%MHTA
\psline(-1.9,-1.9)(1.9,1.9)%MT
\psline(-1.9,1.9)(1.9,-1.9)%AH
\psline(0,-2.4)(0,2.4)%OSE
\psline(-1.9,-1.9)(0,-0.65)(1.9,-1.9)%MSH
\rput(-0.95,-1.9){/}\rput(0.95,-1.9){/}
\psframe(0,-1.9)(0.25,-1.65)
\uput[ul](-1.9,1.9){A} \uput[r](0,0){E} \uput[dr](1.9,-1.9){H} \uput[dl](-1.9,-1.9){M}
\uput[dr](0,-1.9){O} \uput[ur](0,-0.65){S} \uput[ur](1.9,1.9){T} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure en vraie grandeur.
Montrer que le triangle MSH est isocèle en S.


\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de SM.
		\item Montrer que la valeur exacte du périmètre du triangle MSH est $12+ 2\sqrt{52}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}Soit N un point du segment [SO].

On pose NO $= x$ (exprimé en centimètres).

On note $\mathcal{A}_1$ l'aire du triangle HNO et :$\mathcal{A}_2$ l'aire du triangle MSN (exprimées en cm$^2$).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2.1,-2.4)(2.1,2.4)
\psframe(-1.9,-1.9)(1.9,1.9)%MHTA
\psline(-1.9,-1.9)(1.9,1.9)%MT
\psline(-1.9,1.9)(1.9,-1.9)%AH
\psline(0,-2.4)(0,2.4)%OSE
\psline(-1.9,-1.9)(0,-0.65)(1.9,-1.9)%MSH
\psline(-1.9,-1.9)(0,-1.2)(1.9,-1.9)%MNH
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1.9,-1.9)(0,-0.65)(0,-1.2)%MSN
\rput(-0.95,-1.9){/}\rput(0.95,-1.9){/}
\uput[l](0,-1.55){$x$}
\uput[ul](-1.9,1.9){A} \uput[r](0,0){E} \uput[dr](1.9,-1.9){H} \uput[dl](-1.9,-1.9){M}
\uput[dr](0,-1.9){O} \uput[ur](0,-0.65){S} \uput[ur](1.9,1.9){T} \uput[ur](0,-1.2){N}
\uput[l](0,-1.55){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\mathcal{A}_1 = 3x$.
\item Exprimer SN en fonction de $x$.
\item Montrer que : $\mathcal{A}_2 = 3(4 - x)$.

(On pourra remarquer que [MO] est une hauteur du triangle MSN.)
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on : $\mathcal{A}_1 = 3\mathcal{A}_2$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

F est un point quelconque du segment [TH].

Prouver que le point d'intersection I des segments [FM] et [EO] est le milieu du segment [MF].
\end{document}