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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soient les axes de coordonnées O$x$ et O$y$.

On considère sur O$x$ le point A d'abscisse + 4 et sur O$y$ le point B d'ordonnée $+ 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item M étant un point quelconque, dont on désigne par $x$ et $y$ les coordonnées, calculer MA$^2$ et MB$^2$ en fonction de $x$ et de $y$.

Établir la relation qui doit exister entre $x$ et $y$ pour que l'on ait MA = MB.

En déduire que, dans ces conditions, M décrit une droite $(D)$, que l'on construira.
\item La droite $(D)$ rencontre la droite $y = x$ au point P{}.

Calculer les coordonnées de P et calculer la longueur
du segment [IP], I étant le milieu de [AB].
\item Le point M a pour projection sur O$x$ le point $m$ ; l'abscisse $x$ de ce point, qui est aussi celle de M, varie avec le temps; si $t$ est exprimé en secondes on a
\[x = 3,5 + t.\]

Où se trouve le point M quand $t = 0$ ?

Calculer au temps $t$ la longueur parcourue par le point M sur la droite $(D)$.

Au bout de combien de temps a-t-on PM $= 6$~cm ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB].

On considère un point M de ce demi-cercle et l'on construit sur les côtés [MA] et [MB] du triangle rectangle AMB et vers l'extérieur de celui-ci les carrés AMNP et BMQR.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les trois points P, M et R sont en ligne droite et que cette droite coupe le demi-cercle $\mathcal{C}$ en un deuxième point, I, qui est le milieu de l'arc $\widearc{\text{AMB}}$.
\item Démontrer que (AN) et (BQ) sont parallèles.

Que représente la droite (PQR) pour les deux segments [AN] et [BQ] ?

En déduire le lieu géométrique de N et Q quand M décrit le demi-cercle $\mathcal{C}$.
\item Comparer les triangles AMB et MNQ.

Montrer que la médiane [MC] du triangle MNQ a une longueur  égale à la moitié de celle de [AB] et que les droites (MC) et (AB) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document}